Bod, priamka, rovina — čo určuje rovinu
V priestore (E₃) pribúda k bodu a priamke aj rovina. Skôr než určíme vzájomnú polohu útvarov, treba vedieť, čím je rovina jednoznačne daná.
Jednoznačne určujú rovinu
• tri body, ktoré neležia na jednej priamke (nekolineárne)
• priamka a bod, ktorý na nej neleží
• dve rôznobežné priamky
• dve rovnobežné rôzne priamky
Základné incidenčné fakty
Dvomi rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.
Ak dva body priamky ležia v rovine, leží v nej celá priamka.
Dve rôzne roviny majú spoločnú buď priamku, alebo nič.
Dva body určujú priamku, tri nekolineárne body rovinu. To je dôvod, prečo stolička so štyrmi nohami „kníše", ale trojnožka stojí pevne.
Tri body na jednej priamke (kolineárne) rovinu neurčujú — prechádza nimi nekonečne veľa rovín. Rovnako dva body sami osebe rovinu neurčia.
Rozhodni o jednoznačnosti.
Dve priamky v priestore
V priestore pribúda nová možnosť — mimobežky, ktoré sa nepretnú ani nie sú rovnobežné. Spolu sú teda štyri polohy.
Štyri možnosti
totožné (s ∥ u, spoločný bod) · rovnobežné rôzne (s ∥ u, bez spoločného bodu) · rôznobežné (1 spoločný bod) · mimobežné (nerovnobežné, bez priesečníka)
Rozhodovanie cez vektory
Smer u priamky p, smer v priamky q, bod A ∈ p, B ∈ q.
Ak u ∥ v: leží B na p? Áno ⇒ totožné, Nie ⇒ rovnobežné.
Ak u ∦ v: rozhodne zmiešaný súčin (pozri nižšie).
Číslo [u, v, AB] = (u × v) · AB hovorí, či tri vektory ležia v jednej rovine.
[u, v, AB] = 0 ⟺ priamky sú komplanárne (ležia v spoločnej rovine) ⇒ rôznobežné alebo rovnobežné.
[u, v, AB] ≠ 0 ⟺ priamky sú mimobežné.
p: A[1,0,0] + t·(1,1,0); q: B[0,0,1] + s·(1,0,1).
Najčastejšia chyba je zameniť mimobežné a rôznobežné. Rôznobežné majú spoločný bod a ležia v jednej rovine; mimobežné neležia v žiadnej spoločnej rovine a spoločný bod nemajú.
Rozhodni o polohe priamok.
Mimobežky zblízka
Mimobežky sú špecialita priestoru — v rovine neexistujú. Nepretínajú sa a zároveň nie sú rovnobežné. Maturita ich rada testuje.
Žiadna spoločná rovina
Neexistuje rovina, v ktorej by ležali obe priamky súčasne. To je podstata „mimobežnosti".
Práve jedna spoločná kolmica
Existuje práve jedna priamka kolmá na obe — os mimobežiek. Jej smer je u × v.
Vzdialenosť
Dĺžka úsečky tejto spoločnej kolmice medzi priamkami. Je to ich najkratšia vzdialenosť.
Odchýlka mimobežiek
Uhol medzi priamkami: jednu posunieme rovnobežne do bodu druhej a meriame uhol smerov.
Cez zmiešaný súčin: d = |[u, v, AB]| / |u × v|.
Čitateľ je objem rovnobežnostena z vektorov u, v, AB; menovateľ je obsah jeho podstavy — podiel je výška, čiže hľadaná vzdialenosť.
Vlastnosti mimobežiek.
Priamka a rovina
Parametrickú priamku dosadíme do rovnice roviny a podľa počtu riešení určíme polohu.
Podľa počtu riešení
∞ riešení ⇒ priamka leží v rovine
žiadne ⇒ priamka je rovnobežná
1 riešenie ⇒ priamka pretína rovinu
Kritériá cez vektory
s · n = 0 ⇒ priamka leží alebo je rovnobežná (rozhodne dosadenie bodu)
s · n ≠ 0 ⇒ priamka pretína rovinu
s ∥ n (s = k·n) ⇒ priamka je kolmá na rovinu
Samotné s · n = 0 ešte neznamená „leží". Treba overiť, či nejaký bod priamky leží v rovine: ak áno ⇒ leží, ak nie ⇒ rovnobežná.
p: x = 1+t, y = t, z = 2−t; ρ: x + y + z − 5 = 0.
Urči polohu a priesečník.
Dve roviny
O polohe dvoch rovín rozhodnú ich normálové vektory n₁, n₂ a absolútne členy.
Tri možnosti
rovnobežné rôzne: n₂ = k·n₁, ale člen d nesedí
totožné: násobkom je aj člen d (celá rovnica)
rôznobežné: normály nezávislé ⇒ priesečnica
Priesečnica dvoch rovín
Ak sú rôznobežné, spoločná priamka má smer s = n₁ × n₂.
Jeden jej bod nájdeme vyriešením sústavy oboch rovníc (napr. položíme z = 0).
Smer priesečnice dvoch rovín je n₁ × n₂ — je kolmý na obe normály, preto leží v oboch rovinách súčasne.
α: x + y + z − 1 = 0; β: x − y + z = 0.
Rozhodni o polohe rovín.
Rovnobežnosť a kolmosť
V súradniciach sa rovnobežnosť a kolmosť overia okamžite — cez smery priamok a normály rovín.
| Dvojica útvarov | Rovnobežné ⟺ | Kolmé ⟺ |
|---|---|---|
| priamka — priamka | u ∥ v (u = k·v) | u · v = 0 |
| priamka — rovina | u · n = 0 (a neleží) | u ∥ n (u = k·n) |
| rovina — rovina | n₁ ∥ n₂ | n₁ · n₂ = 0 |
Pri priamke a rovine je to naopak ako medzi dvomi priamkami: rovnobežnosť je u · n = 0, kolmosť je u ∥ n. Smer priamky sa porovnáva s normálou, nie s rovinou.
Bonus: vzájomná poloha troch rovín
Tri roviny sa môžu (a) pretínať v jednom bode, (b) prechádzať spoločnou priamkou (zväzok), (c) tvoriť „hranol" — tri rovnobežné priesečnice, alebo (d) byť (čiastočne) rovnobežné. Rozhodne riešenie sústavy 3 rovníc o 3 neznámych.
Použi správne kritérium.
Prehľad všetkých polôh
Celá téma v jednej tabuľke — dvojica útvarov, možné polohy a počet spoločných bodov.
| Dvojica | Možné polohy | Spoločné body |
|---|---|---|
| dve priamky | totožné / rovnobežné / rôznobežné / mimobežné | ∞ / 0 / 1 / 0 |
| priamka a rovina | leží / rovnobežná / pretína | ∞ / 0 / 1 |
| dve roviny | totožné / rovnobežné / rôznobežné | ∞ / 0 / ∞ (priamka) |
Najprv porovnaj smery / normály (rozhodne rovnobežnosť), až potom rieš sústavu alebo dosaď bod (rozhodne spoločné body). Ušetríš si zbytočné počítanie.
Klikni na kartičku a over si odpoveď.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok naprieč celou témou — od určenia roviny cez mimobežky po priesečnicu rovín.
Otestuj sa cez celú tému E₃.