Bod a priamka
Najjednoduchší test analytickej geometrie: dosadíš a pozrieš, či rovnica vyšla.
Bod a priamka
Bod leží na priamke, ak po dosadení jeho súradníc rovnica platí. Tri body na jednej priamke sú kolineárne.
Over, či bod leží na priamke.
Dve priamky — typy polohy
Dve priamky v rovine sú buď rovnobežné, totožné, alebo sa pretínajú — niekedy kolmo.
Cez smernice
rovnobežné rôzne: k₁ = k₂, q₁ ≠ q₂
totožné: k₁ = k₂, q₁ = q₂
rôznobežné: k₁ ≠ k₂
kolmé: k₁·k₂ = −1
Cez vektory
rovnobežné ⇔ u = k·v (závislé)
kolmé ⇔ u · v = 0
Klikni a zisti vzájomnú polohu.
Rozhodni o polohe dvoch priamok.
Poloha cez všeobecné rovnice
Pomery koeficientov rovno prezradia, ako sú priamky voči sebe.
Cez všeobecné rovnice
rovnobežné rôzne: a₁:a₂ = b₁:b₂ ≠ c₁:c₂
totožné: a₁:a₂ = b₁:b₂ = c₁:c₂
rôznobežné: a₁:a₂ ≠ b₁:b₂
1 riešenie ⇒ rôznobežné · žiadne ⇒ rovnobežné rôzne · nekonečne veľa ⇒ totožné.
Urči polohu z rovníc.
Priesečník a uhol dvoch priamok
Priesečník vyrieši sústava, uhol odhalí skalárny súčin smerových vektorov.
Priesečník a uhol
Priesečník = riešenie sústavy oboch rovníc.
cos φ = |u · v| / (|u|·|v|)
Nájdime priesečník p: x + y − 3 = 0 a q: x − y − 1 = 0.
Vypočítaj priesečník a uhol.
Vzdialenosť bodu od priamky
Ako ďaleko je bod od priamky? Stačí dosadiť do jediného vzorca — výsledok je vždy nezáporný.
Bod a priamka
Pre priamku p: ax + by + c = 0 a bod M[x₀, y₀]:
d(M, p) = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)
Dve rovnobežky
Pre p: ax + by + c₁ = 0 a q: ax + by + c₂ = 0 s rovnakými a, b:
d(p, q) = |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
Čitateľ je v absolútnej hodnote — vzdialenosť nikdy nie je záporná. Ak vyjde 0, bod leží priamo na priamke. Pri rovnobežkách musíš mať rovnaké koeficienty a, b (inak rovnice najprv uprav).
Vzdialenosť bodu M[3, 4] od priamky p: 3x − 4y + 5 = 0.
Dosaď do vzorca a vypočítaj.
Bod a kružnica
Najjednoduchší prípad s kružnicou: leží bod vnútri, na, alebo mimo? Rozhodne vzdialenosť bodu od stredu.
Stredový tvar
Kružnica so stredom S[m, n] a polomerom r:
(x − m)² + (y − n)² = r²
Poloha bodu M
Porovnaj vzdialenosť |MS| s polomerom r:
|MS| < r → vnútri kruhu
|MS| = r → na kružnici
|MS| > r → mimo
Súradnice bodu dosaď do ľavej strany (x − m)² + (y − n)² a porovnaj s r²: menej ⇒ vnútri, presne ⇒ na kružnici, viac ⇒ mimo. Nemusíš počítať odmocninu.
Kružnica k: x² + y² = 25 (stred [0,0], r = 5). Klikni a over.
Rozhodni o polohe bodu.
Priamka a kružnica
Priamka môže kružnicu pretnúť (sečnica), dotknúť sa jej (dotyčnica), alebo ju minúť (nesečnica). Rozhodne vzdialenosť stredu od priamky.
Sečnica
2 spoločné body
vzdialenosť stredu od priamky d < r
Dotyčnica
1 spoločný bod
d = r
Nesečnica
0 spoločných bodov
d > r
(1) Vzdialenosť: vypočítaj vzdialenosť d stredu od priamky a porovnaj s r.
(2) Dosadenie: dosaď priamku do rovnice kružnice → kvadratická rovnica → diskriminant D. D > 0 sečnica, D = 0 dotyčnica, D < 0 nesečnica.
Dotyčnica ku kružnici x² + y² = r² v jej bode T[x₀, y₀] má rovnicu x₀·x + y₀·y = r². Dotyčnica je vždy kolmá na polomer v bode dotyku.
Ťahaj posuvník a sleduj, kedy je priamka sečnica, dotyčnica či nesečnica. Polomer r = 5, d = vzdialenosť priamky od stredu.
Poloha priamky p: y = x + 1 a kružnice k: x² + y² = 25.
Urči vzájomnú polohu.
Dve kružnice
Poloha dvoch kružníc závisí len od vzdialenosti stredov d a polomerov r₁, r₂. Porovnávaš d so súčtom a rozdielom polomerov.
Vonkajšie
0 bodov
d > r₁ + r₂
Vonkajší dotyk
1 bod
d = r₁ + r₂
Pretínajú sa
2 body
|r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂
Vnútorný dotyk
1 bod
d = |r₁ − r₂|
Vnútri (jedna v druhej)
0 bodov
d < |r₁ − r₂|
Sústredné
0 bodov
d = 0, r₁ ≠ r₂
Meň vzdialenosť stredov d a sleduj polohu. Polomery r₁ = 4, r₂ = 2,5.
Z hodnôt r₁, r₂, d urči vzájomnú polohu.
Porovnaj d so súčtom a rozdielom polomerov.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok cez priamky, vzdialenosti aj kružnice.
Otestuj sa cez celú tému.