Čo je výraz
Výraz je zmysluplný zápis z čísel, premenných a operácií (+, −, ·, :, mocniny, odmocniny). Najprv vždy zisti, pre ktoré hodnoty má zmysel.
Číselný výraz
Len čísla a operácie — má jedinú hodnotu. Napr. 3·(4 + 2²) = 24.
Výraz s premennou
Obsahuje písmená — hodnota závisí od premennej. Napr. 2x + 5; pri x = 3 má hodnotu 11.
Množina hodnôt premennej, pre ktoré má výraz zmysel. Vylúč: menovateľ ≠ 0; pod párnou odmocninou ≥ 0; argument logaritmu > 0.
Dva výrazy sa rovnajú, ak majú rovnakú hodnotu pre všetky hodnoty zo spoločného oboru. Preto (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 platí len pre x ≠ 1 — a práve preto pri krátení píšeme podmienky.
Vyber výraz a zadaj x. Uvidíš hodnotu — alebo prečo výraz pre dané x nie je definovaný.
Mnohočleny
Mnohočlen je súčet jednočlenov — najčastejší typ výrazu, s ktorým budeš pracovať.
Jednočlen
Súčin čísla a mocnín premenných: −3x²y. Číslo je koeficient.
Mnohočlen (polynóm)
Súčet jednočlenov: 2x² − 5x + 3.
Stupeň
Najvyššia mocnina premennej. 2x³ − 5x + 1 má stupeň 3; konštanta má stupeň 0.
Sčítanie, odčítanie, násobenie
Sčítavame len rovnaké členy (rovnaká premenná a mocnina). Pri násobení roznásobíme každý člen s každým a zlúčime.
Pred zátvorkou so znamienkom „−" zmeň znamienka všetkých členov: 2x − (x − 4) = 2x − x + 4 = x + 4.
Meň a a b — výsledok x² + (a+b)x + ab sa prepočíta naživo.
Krok za krokom: (x + 2)(x − 3)
Delenie mnohočlenov rozšírenie
Nad rámec povinných požiadaviek, no hodí sa. Delíme „pod sebou" ako čísla: deľ vedúce členy → vynásob → odčítaj → znes ďalší.
Užitočné vzorce
Ušetria roznásobovanie a sú kľúč k rozkladu na súčin. Treba ich vedieť naspamäť — oboma smermi.
| Vzorec | Rozpísané |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) | a² − b² |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
(a + b)² ≠ a² + b² — nezabudni na dvojnásobný súčin 2ab!
Ťahaj a a b — štvorec so stranou (a + b) sa delí na a², dva obdĺžniky ab a b².
Rozklad na súčin
Rozklad je opak roznásobovania — výraz prepíšeš ako súčin. Potrebuješ ho pri krátení zlomkov aj riešení rovníc.
Vyňatie
Spoločný činiteľ pred zátvorku: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
Vzorce
Spätne: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
Zoskupovanie
ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y).
Najprv skús vyňať spoločný činiteľ, potom hľadaj vzorec, nakoniec skús zoskupovanie. Výsledok over roznásobením.
Hľadáš dve čísla so súčtom = koeficient pri x a súčinom = absolútny člen.
Keď „hádanie" nestačí — cez diskriminant
Ak je diskriminant D < 0, trojčlen sa v obore reálnych čísel rozložiť nedá.
Mocniny
Skrátený zápis opakovaného násobenia. Pravidlá pre mocniny sú základ pre úpravy výrazov, odmocniny aj exponenciálne rovnice.
| Exponent | Definícia | Príklad |
|---|---|---|
| prirodzený | aⁿ = a · a · … · a | 2⁵ = 32 |
| celočíselný | a⁰ = 1 (a≠0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 3⁻² = 1/9 |
| racionálny | a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a>0 | 8^(2/3) = 4 |
(a · b)ʳ = aʳ · bʳ · (a / b)ʳ = aʳ / bʳ
Pri súčte žiadne pravidlo neplatí: a² + a³ sa zlúčiť nedá. A (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ — tu treba vzorec.
Zvoľ základ a a exponenty r, s — obe strany každého pravidla vyjdú číselne rovnako.
Odmocniny
ⁿ√a = b práve vtedy, keď bⁿ = a. Pri párnom n musí byť a ≥ 0 a výsledok je nezáporný.
Odmocnina je mocnina s racionálnym exponentom — preto pre ňu platia tie isté pravidlá:
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b) · ⁿ√a : ⁿ√b = ⁿ√(a/b) · (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
Čiastočné odmocňovanie
Spod odmocniny vyberieme úplný štvorec: √(k²·a) = k·√a.
Zadaj n — vyberiem najväčší štvorec a dostanem tvar k√m.
√(a²) = |a| (nie len a!) a √(a + b) ≠ √a + √b — odmocnina sa cez súčet „neroztrhne".
Usmerňovanie zlomkov
Zlomok je usmernený, keď v menovateli nie je odmocnina. Dosiahneme to rozšírením (čitateľ aj menovateľ násobíme tým istým).
Typ 1 — jednočlenný menovateľ
Typ 2 — dvojčlenný menovateľ
Rozšírime združeným výrazom (zmeníme znamienko v strede) a využijeme (a − b)(a + b) = a² − b².
Združený výraz vždy násob aj v čitateli, nielen v menovateli. A nakoniec kráť — menovateľ sa často pekne zjednoduší.
Lomené výrazy
Lomený výraz je zlomok s premennou v menovateli, napr. (x + 1)/(x − 2). Pri úpravách vždy stráž podmienky.
Pred úpravou urči, kedy je menovateľ nulový, a tie hodnoty vylúč. Menovateľ (x − 2) ⇒ x ≠ 2.
Krátenie
Rozlož čitateľa aj menovateľa a zruš spoločný činiteľ.
Operácie s lomenými výrazmi
Sčítanie / odčítanie
Na spoločný menovateľ. 1/x + 1/y = (y + x)/(xy).
Násobenie
Čitateľ × čitateľ, menovateľ × menovateľ; potom kráť.
Delenie
Násob prevrátenou hodnotou druhého zlomku.
Zložený zlomok
Zlomok, ktorý má v čitateli alebo menovateli ďalší zlomok. Uprav čitateľ aj menovateľ na jeden zlomok a deľ.
Doplnenie na štvorec
Kvadratický trojčlen prepíšeš do tvaru (x + …)² + …. Využíva sa pri hľadaní vrcholu paraboly, riešení rovníc aj neskôr v integráloch.
Meň b a c (pre a = 1) — uvidíš tvar (x + b/2)² + zvyšok aj vrchol paraboly.
Vyjadrenie neznámej zo vzorca
Postupuješ rovnakými úpravami ako pri rovnici — hľadanú premennú postupne osamostatníš.
Pri odmocnení stráž podmienky a znamienko. Fyzikálne veličiny (dĺžka, polomer) sú kladné — berieme len kladnú odmocninu.
Mostíky k iným témam
Výrazy nie sú ostrov — úpravy, ktoré si sa práve naučil, sú nástroj naprieč celou maturitou.
Teória čísel (03)
Prvočíselný rozklad ↔ rozklad mnohočlenov na súčin. NSD a NSN ↔ krátenie a spoločný menovateľ zlomkov.
Rovnice a nerovnice
Úpravy výrazov sú motorom riešenia rovníc. Rozklad → súčinový tvar = 0 ti dá korene.
Funkcie
Doplnenie na štvorec → vrchol paraboly. Lomené výrazy → lineárna lomená funkcia a jej asymptoty.
Typy dôkazov (05)
Úpravy výrazov sú jadro priamych dôkazov — napr. „súčet dvoch párnych je párny" cez 2(m + n).
Maturitná otázka často mieša viac „tehličiek" naraz — napr. rozlož, skráť a urči podmienky v jednom príklade. Práve preto sa oplatí mať úpravy výrazov v malíčku.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪