Strany, uhly a druhy
Súčet uhlov 180° a trojuholníková nerovnosť sú základ každej úlohy.
Uhly a strany
α + β + γ = 180°
Strany a, b, c oproti vrcholom A, B, C. Oproti väčšej strane väčší uhol.
Trojuholníková nerovnosť
a + b > c
Súčet dvoch strán je väčší než tretia.
Dopočítaj uhol, over existenciu.
Druhy trojuholníkov
Trojuholníky delíme dvoma spôsobmi — podľa strán a podľa uhlov. Na maturite ich treba vedieť rozlíšiť aj pomenovať.
Podľa strán
rovnostranný — a = b = c
rovnoramenný — dve strany rovnaké
rôznostranný — všetky strany rôzne
Podľa uhlov
ostrouhlý — všetky uhly < 90°
pravouhlý — jeden uhol = 90°
tupouhlý — jeden uhol > 90°
| Druh (podľa strán) | Strany | Uhly |
|---|---|---|
| rovnostranný | a = b = c | 60°, 60°, 60° |
| rovnoramenný | dve rovnaké (ramená) | uhly pri základni rovnaké |
| rôznostranný | a ≠ b ≠ c | všetky uhly rôzne |
Rovnostranný trojuholník je vždy aj ostrouhlý. Pravouhlý ani tupouhlý trojuholník nemôže byť rovnostranný (mal by uhol ≠ 60°).
Zaraď trojuholník podľa strán aj uhlov.
Zhodnosť a podobnosť
Dva trojuholníky môžu byť zhodné (rovnaký tvar aj veľkosť) alebo podobné (rovnaký tvar, iná veľkosť). Pre obe existujú vety, ktoré stačí overiť.
Vety o zhodnosti
sss — tri strany
sus — dve strany a uhol medzi nimi
usu — strana a dva priľahlé uhly
Ssu — dve strany a uhol oproti väčšej
Vety o podobnosti
uu — dva zhodné uhly
sus — pomer dvoch strán + uhol medzi
sss — pomer všetkých troch strán
Ak sú trojuholníky podobné s koeficientom k, tak dĺžky sú v pomere k, obvody v pomere k, ale obsahy v pomere k².
Skratka → čo znamená.
Vety aj pomer obsahov.
Stredná priečka a Talesova veta
Dve klasické vety, ktoré sa hodia pri konštrukciách aj dôkazoch.
Stredná priečka
Spája stredy dvoch strán trojuholníka. Je rovnobežná s treťou stranou a má polovičnú dĺžku.
stredná priečka = c / 2
Talesova veta
Ak bod C leží na kružnici s priemerom AB, potom uhol pri vrchole C je pravý.
|∢ACB| = 90°
Tri stredné priečky rozdelia trojuholník na 4 zhodné menšie trojuholníky. Talesova kružnica zas pomáha narysovať pravý uhol alebo dotyčnicu z bodu ku kružnici.
Dĺžky a pravý uhol.
Pytagorova a Euklidove vety
V pravouhlom trojuholníku platia vzťahy, bez ktorých sa na maturite nezaobídeš. Prepona c je oproti pravému uhlu, strany a, b sú odvesny.
Pytagorova veta
c² = a² + b²
Súčet druhých mocnín odvesien = druhá mocnina prepony. Obrátene: ak to platí, trojuholník je pravouhlý.
Euklidove vety
o výške: v² = c_a · c_b
o odvesne: a² = c · c_a, b² = c · c_b
v je výška na preponu, c_a a c_b sú priemety (úseky) odvesien a, b na preponu c. Platí c_a + c_b = c.
Odvesny a = 6, b = 8. Nájdime preponu c.
Zadaj dve odvesny a, b.
Dopočítaj stranu.
Goniometria — sin, cos, tg
V pravouhlom trojuholníku definujeme goniometrické funkcie ostrého uhla cez pomer strán. Vďaka nim dopočítaš stranu aj uhol.
Definície (uhol α)
sin α = protiľahlá / prepona
cos α = priľahlá / prepona
tg α = protiľahlá / priľahlá
Pomôcka
Pre uhol α protiľahlá odvesna leží oproti nemu, priľahlá je vedľa neho. Prepona je vždy oproti pravému uhlu (najdlhšia strana).
| α | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | — |
Zadaj preponu c a uhol α (v stupňoch).
Definície aj výpočet.
Špeciálne trojuholníky
Tri trojuholníky s pevnými pomermi strán — keď ich poznáš, počítaš ich spamäti bez kalkulačky.
Rovnostranný (strana a)
v = (√3/2)·a
S = (√3/4)·a²
45° – 45° – 90°
rovnoramenný pravouhlý
a : a : a√2
prepona = odvesna·√2
30° – 60° – 90°
polovica rovnostranného
1 : √3 : 2
oproti 30° najkratšia strana
Tieto pomery vyplývajú z Pytagorovej vety. Keď v zadaní uvidíš uhly 45° alebo 30°/60°, hneď vieš pomer strán a ušetríš čas.
Špeciálne trojuholníky.
Pomery strán a obsahy.
Obvod a obsah
Obsah vieš spočítať z výšky, z dvoch strán a uhla, alebo Heronovým vzorcom.
Obvod a obsah
O = a + b + c
S = ½·a·vₐ = ½·a·b·sin γ
Heron: S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], s = O/2
Zadaj tri strany a, b, c.
Vypočítaj obsah.
Sínusová a kosínusová veta
Tieto dve vety vyriešia ktorýkoľvek trojuholník.
Vety o trojuholníku
sínusová: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2r
kosínusová: c² = a² + b² − 2ab·cos γ
a = 5, b = 8, γ = 60°. Nájdime c.
Použi správnu vetu.
Výška, ťažnica a významné body
Štyri sústavy čiar dávajú štyri významné body trojuholníka.
Významné body
ťažnice → ťažisko (2:1), výšky → ortocentrum, osi strán → opísaná, osi uhlov → vpísaná kružnica.
Polomery
r = abc/(4S), ρ = 2S/o
Over si vzorce a vlastnosti.
Ťažisko, kružnice.
Záverečný kvíz
Štrnásť otázok cez celú tému — od druhov a Pytagora po goniometriu a vety.
Otestuj sa cez celú tému Trojuholník.