Čo je tangens a kotangens
Tangens a kotangens nie sú nová záhada — sú to len podiely sínusu a kosínusu toho istého uhla. Z toho vyplynie úplne všetko ostatné: definičný obor, znamienka aj asymptoty.
Tangens
tg α = sin α / cos α
Definované, len ak cos α ≠ 0.
Kotangens
cotg α = cos α / sin α
Definované, len ak sin α ≠ 0.
V pravouhlom trojuholníku
tg α = protiľahlá / priľahlá
cotg α = priľahlá / protiľahlá
Na jednotkovej kružnici
tg α je úsek na dotyčnici v bode [1, 0] (odtiaľ názov „tangens“). Pre výpočty však stačí pomer sin/cos.
Tangens a kotangens sú navzájom prevrátené: tg α · cotg α = 1, teda cotg α = 1 / tg α.
Klikni na kartu a over si definície a vzťahy.
Klikni správnu odpoveď. Po odpovedi uvidíš vysvetlenie.
Hodnoty významných uhlov
Hodnoty dostaneš jednoducho — vydelíš riadky sin a cos z tabuľky pre sin/cos. V 90° tg nie je definovaný (delenie nulou), v 0° zase cotg.
| uhol | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| radiány | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| tg α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
| cotg α | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
Znamienka v kvadrantoch
| kvadrant | I. | II. | III. | IV. |
|---|---|---|---|---|
| tg, cotg | + | − | + | − |
tg aj cotg majú v každom kvadrante rovnaké znamienko.
Pomôcka
tg je „kladný tam, kde majú sin a cos rovnaké znamienko“ — čiže v I. a III. kvadrante.
Over si hodnoty a znamienka.
Hodnoty pre ľubovoľný uhol
Tabuľka platí pre 0°–90°. Hodnotu akéhokoľvek uhla dostaneš tak, že ho prevedieš na základný uhol z ⟨0°, 90°⟩ a doplníš znamienko podľa kvadrantu.
Tangens
tg(180° − α) = −tg α
tg(180° + α) = tg α
tg(360° − α) = −tg α
Kotangens
cotg(180° − α) = −cotg α
cotg(180° + α) = cotg α
cotg(360° − α) = −cotg α
Komplementárny uhol
tg(90° − α) = cotg α
cotg(90° − α) = tg α
Pri tvare 180° + α sa znamienko tangensu nemení (perióda π). Mení sa len pri tvaroch s „mínus α“. O výsledku rozhoduje kvadrant.
Klikni na uhol a sleduj prevod na základný uhol aj s výsledkom.
Preveď uhol a urči hodnotu.
Graf y = tg x
Tangens tvoria rastúce vetvy medzi zvislými asymptotami a opakuje sa každých π.
Definičný obor D = ℝ \ {π/2 + kπ} · obor hodnôt H = ℝ · perióda π (nie 2π!) · nepárna: tg(−x) = −tg x · rastúca na každej vetve · nuly v x = kπ · asymptoty v x = π/2 + kπ.
Posúvaj bod po vetve. Pri približovaní k π/2 sleduj, ako hodnota „uteká“ do nekonečna.
Perióda, asymptoty, obor hodnôt.
Graf y = cotg x a porovnanie
Kotangens je klesajúci a jeho asymptoty sú práve tam, kde má tangens nuly (a naopak).
| vlastnosť | y = tg x | y = cotg x |
|---|---|---|
| definičný obor | ℝ \ {π/2 + kπ} | ℝ \ {kπ} |
| obor hodnôt | ℝ | ℝ |
| perióda | π | π |
| párnosť | nepárna | nepárna |
| monotónnosť | rastúca (na vetve) | klesajúca (na vetve) |
| asymptoty | x = π/2 + kπ | x = kπ |
| nuly | x = kπ | x = π/2 + kπ |
Platí cotg x = tg(π/2 − x) — kotangens je „prevrátený a posunutý“ tangens.
Over si vlastnosti kotangensu.
Asymptoty a monotónnosť.
Transformácie grafu a zložený argument
Z grafu y = tg x vieš zostrojiť aj graf so zmenenou mierkou či posunom. Najdôležitejšia zmena je perióda: pri tg(kx) sa delí číslom |k|.
y = tg(kx)
Perióda π / |k|, asymptoty x = π/(2k) + nπ/k. Obor hodnôt ostáva ℝ.
y = a · tg x
Zvislé natiahnutie. Perióda, asymptoty aj nuly nezmenené; obor hodnôt stále ℝ.
y = tg x + c
Zvislý posun o c; nuly sa posunú (riešia tg x = −c).
y = tg(x − b)
Vodorovný posun o b doprava; asymptoty x = π/2 + b + kπ.
Rieš substitúciou „celý argument naraz“. Napr. tg 2x = √3: 2x = π/3 + kπ ⇒ x = π/6 + kπ/2.
tg x je na ⟨0, π/4⟩ ohraničená (0 ≤ tg x ≤ 1), no na ⟨0, π/2) je zhora neohraničená — pri x → π/2⁻ rastie nad každú hranicu.
Hraj sa s a, k, c a sleduj, ako sa mení perióda, posun a asymptoty grafu y = a · tg(kx) + c.
Perióda a obor hodnôt po transformácii.
Ako tg a cotg súvisia so sin a cos
Tieto vzorce sú „spojivá“ celej goniometrie — využiješ ich v identitách aj rovniciach.
Základné vzťahy
tg x = sin x / cos x
cotg x = cos x / sin x
tg x · cotg x = 1
Spojenie s identitou
1 + tg²x = 1 / cos²x
1 + cotg²x = 1 / sin²x
Nepárnosť
tg(−x) = −tg x
cotg(−x) = −cotg x
Perióda
tg(x + π) = tg x
cotg(x + π) = cotg x
Klikaj a odhaľuj kroky dôkazu.
Identity a párnosť.
Základné goniometrické rovnice
Na rozdiel od sin a cos majú rovnice tg x = a a cotg x = a riešenie pre každé reálne a (obor hodnôt je celé ℝ). Vďaka perióde π má v každom „pruhu“ šírky π práve jedno riešenie.
tg x = a
x = arctg a + kπ, k ∈ ℤ
cotg x = a
x = arccotg a + kπ, k ∈ ℤ
Rovnicu typu sin x = cos x preveď na tangens: vydelením cos x dostaneš tg x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ.
Zadaj pravú stranu a a nech ti lab ukáže riešenie aj s periódou.
Riešenia s periódou kπ.
Goniometrické nerovnice
Tangens je na vetve (−π/2, π/2) rastúci, preto sa nerovnica rieši priamo: nájdeš hraničný uhol x₁ = arctg a a podľa smeru nerovnosti vyberieš časť vetvy. Riešenie sa opakuje s periódou π.
tg x > a
x ∈ (x₁ + kπ, π/2 + kπ)
od hraničného uhla po asymptotu
tg x < a
x ∈ (−π/2 + kπ, x₁ + kπ)
od asymptoty po hraničný uhol
arctg a je jediný uhol z intervalu (−π/2, π/2), ktorého tangens je a — práve túto hodnotu dáva na kalkulačke tlačidlo tan⁻¹.
Posúvaj hodnotu a, prepínaj smer a sleduj, ktoré intervaly (zelené pásy) sú riešením.
Tangens v trojuholníku a súvis s Témou 14
V pravouhlom trojuholníku je tangens najrýchlejší nástroj na dopočítanie strany alebo uhla — napr. výšky veže z uhla a vzdialenosti.
Zadaj vzdialenosť d a uhol α; lab dopočíta výšku ako v = d · tg α.
Všeobecný trojuholník
V trojuholníku bez pravého uhla tangens na strany priamo neuplatníš — použiješ sínusovú a kosínusovú vetu (Téma 14).
Čo z tangensu patrí do Témy 14
tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α·tg β)
tg 2α = 2·tg α/(1 − tg²α)
cotg = 1/tg (prevrátená), nie −tg · tg(α + β) ≠ tg α + tg β · perióda tg aj cotg je π, nie 2π · pri rovniciach a nerovniciach vždy vylúč body asymptot · arctg dáva len hodnotu z (−π/2, π/2) — pripočítaj kπ.
Aplikácie tangensu.
Záverečný kvíz
Desať otázok od definície po nerovnice. Každá odpoveď ti hneď vysvetlí, prečo je správna.
Otestuj sa naprieč celou témou. Veľa šťastia!