Deliteľnosť
Hovoríme, že a delí b (zapisujeme a | b), ak existuje celé číslo k také, že b = a · k. Vtedy je a deliteľ čísla b a b je násobok čísla a.
Množina deliteľov
Všetky čísla, ktoré dané číslo delia bezo zvyšku. D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Násobky
Čísla, ktoré vzniknú násobením daného čísla. 5 : 0, 5, 10, 15, 20, …
Vlastnosti deliteľnosti
Platia pre celé čísla — využiješ ich pri dôkazoch.
| Vlastnosť | Zápis |
|---|---|
| Súčet a rozdiel | ak a | b a a | c, potom a | (b + c) aj a | (b − c) |
| Násobok | ak a | b, potom a | (b · c) pre každé celé c |
| Tranzitívnosť | ak a | b a b | c, potom a | c |
| Krajné prípady | 1 | a a | a a | 0 — platia vždy |
Deliteľné dvomi: 2k. Napr. 0, 2, 4, 6, …
Nedeliteľné dvomi: 2k + 1. Napr. 1, 3, 5, 7, …
a | b (deliteľnosť) je výrok — buď platí, alebo neplatí. a / b (delenie) je číslo. Nezamieňaj zvislú čiaru so zlomkovou.
D(n) je vždy konečná množina — najväčší deliteľ je samotné n. Práve preto vieme deliteľov vymenovať a pracovať s nimi ako s množinou (prienik, zjednotenie).
Delenie so zvyškom
Pre celé čísla a a b (b > 0) existuje jednoznačne dvojica celých čísel q (podiel) a r (zvyšok) tak, že a = b · q + r, kde 0 ≤ r < b.
Číslo je deliteľné b práve vtedy, keď je zvyšok r = 0. Napr. 17 = 5·3 + 2 → nie je deliteľné 5; 20 = 5·4 + 0 → je.
Prečo je to dôležité
Je to základ Euklidovho algoritmu — opakovane nahrádzame väčšie číslo zvyškom. Zvyšky tiež delia čísla do skupín: párne = zvyšok 0 po delení 2.
Zvyšky v praxi
„Aký deň bude o 100 dní?" je úloha na zvyšok po delení 7. Zvyškové úvahy sa hodia aj v slovných úlohách a dôkazoch.
Zadaj a a b — uvidíš rozklad a = b·q + r a hneď aj to, či je číslo deliteľné.
Prvočísla a prvočíselný rozklad
Prvočísla sú „stavebné kamene" všetkých čísel — každé číslo z nich vieme poskladať.
Prvočíslo
Prirodzené číslo p > 1 s práve dvomi deliteľmi: 1 a samo seba. 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Zložené číslo
n > 1 s aspoň jedným ďalším deliteľom okrem 1 a n. Napr. 12 = 2 · 2 · 3.
Každé prirodzené číslo n > 1 sa dá jednoznačne (až na poradie) zapísať ako súčin prvočísel — to sú jeho prvočinitele. Napr. 360 = 2³ · 3² · 5.
Postup: nechaj najmenšie nevyškrtnuté číslo (prvočíslo) a vyškrtni jeho násobky. Čo ostane zelené, sú prvočísla.
Vyber číslo a postupne ho deľ najmenším prvočíslom, kým nedôjdeš k 1.
Prvočísel je nekonečne veľa a dokazuje sa to sporom: keby ich bolo konečne veľa, ich súčin + 1 by nebol deliteľný žiadnym z nich — spor. Pekná ukážka dôkazu sporom z 1. dielu.
Všetci delitelia z rozkladu
Keď máš prvočíselný rozklad, vieš systematicky vypísať aj spočítať všetkých deliteľov — nemusíš ich hádať.
Ak n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ, potom počet všetkých deliteľov je d(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1).
Pri každom prvočísle si nezávisle vyberáš exponent od 0 po aᵢ — preto sa možnosti násobia.
Vyber číslo — uvidíš jeho rozklad, vzorec d(n) aj kompletný zoznam deliteľov.
Výber „exponent pre 2" × „exponent pre 3" je vlastne karteziánsky súčin dvoch množín exponentov: {0,1,2,3} × {0,1,2} má 4 · 3 = 12 dvojíc — a každá dvojica je jeden deliteľ.
Kritériá deliteľnosti
Rýchle pravidlá, podľa ktorých zistíš deliteľnosť bez delenia — stačí pozrieť na číslice.
| Delí | Kritérium | Príklad |
|---|---|---|
| 2 | posledná číslica je párna (0, 2, 4, 6, 8) | 134 ✓ |
| 3 | ciferný súčet je deliteľný 3 | 171 → 1+7+1=9 ✓ |
| 4 | posledné dvojčíslie je deliteľné 4 | 1316 → 16 ✓ |
| 5 | končí na 0 alebo 5 | 245 ✓ |
| 6 | deliteľné 2 aj 3 zároveň | 132 ✓ |
| 8 | posledné trojčíslie je deliteľné 8 | 7016 → 016 ✓ |
| 9 | ciferný súčet je deliteľný 9 | 729 → 18 ✓ |
| 10 | končí na 0 | 450 ✓ |
| 11 | striedavý ciferný súčet deliteľný 11 | 2728 → 8−2+7−2=11 ✓ |
Zadaj číslo a klikni na deliteľa. Zvýraznia sa relevantné číslice a uvidíš výpočet aj výsledok.
Pre číslo zložené z nesúdeliteľných deliteľov platí: číslo je deliteľné ich súčinom. 6 = 2·3, 12 = 3·4, 15 = 3·5.
Deliteľnosť 12 nezistíš cez 2 a 6 — tie majú spoločného deliteľa. Použi nesúdeliteľnú dvojicu 3 a 4.
Čísla 2–10 majú jednoduché kritériá (kritérium pre 7 jednoduché nie je, preto sa neuvádza). Kritérium pre 11 je navyše — na maturite poteší.
Najväčší spoločný deliteľ (NSD)
NSD(a, b) je najväčšie prirodzené číslo, ktoré delí a aj b súčasne. Využiješ ho pri krátení zlomkov.
Z prvočíselného rozkladu
Vyber spoločné prvočísla v najnižších mocninách. 360 = 2³·3²·5, 84 = 2²·3·7 → NSD = 2²·3 = 12
Euklidov algoritmus
Bez rozkladu — opakované delenie so zvyškom. Posledný nenulový zvyšok je NSD.
Zadaj dve čísla (alebo vyber predvoľbu). Opakovane delíme so zvyškom, kým nevyjde 0.
Tu sa Teória čísel priamo stretáva s Množinami: spoločné delitele sú D(a) ∩ D(b) a najväčší z nich je NSD.
Ak NSD(a, b) = 1, čísla nemajú spoločného deliteľa okrem 1 — sú nesúdeliteľné (relatívne prvočíselné). Napr. 8 a 15.
Najmenší spoločný násobok (NSN)
NSN(a, b) je najmenšie kladné číslo, ktoré je násobkom a aj b súčasne. Potrebuješ ho pri spoločnom menovateli a v úlohách o „spoločnom okamihu".
Z prvočíselného rozkladu
Vyber všetky prvočísla v najvyšších mocninách. 360 = 2³·3²·5, 84 = 2²·3·7 → NSN = 2³·3²·5·7 = 2520
Zlatý vzťah
NSD(a, b) · NSN(a, b) = a · b. Ak poznáš jedno, druhé dopočítaš bez ďalšieho rozkladu.
Násobky dvoch čísel ležia pravidelne. Prvý spoločný bod je NSN. Túto pravidelnosť využiješ v slovných úlohách.
NSD > 1 — majú spoločného deliteľa. Napr. 6 a 9 (NSD = 3).
NSD = 1 — relatívne prvočíselné. Napr. 8 a 15.
Cez množiny: čísla sú súdeliteľné práve vtedy, keď D(a) ∩ D(b) ≠ {1}. Cez výroky: „a je súdeliteľné s b" je negáciou výroku „a, b sú nesúdeliteľné".
Riešené príklady
Typy úloh, ktoré sa na maturite objavujú najčastejšie. Klikaj a odkrývaj riešenie krok po kroku — výsledok je zvýraznený.
1 · Prvočíselný rozklad
Rozlož číslo 504 na súčin prvočísel.
2 · NSD a NSN
Urči NSD a NSN čísel 48 a 60.
3 · Slovná úloha (NSN)
Akú najmenšiu dĺžku musí mať lano, aby sa dalo rozdeliť presne na kusy po 6, 8 aj 9 cm?
4 · Celočíselné riešenia cez konečnú množinu
Nájdi všetky prirodzené čísla n, pre ktoré (n − 1) | 12.
5 · Dôkaz deliteľnosti
Dokáž, že súčin troch po sebe idúcich celých čísel je deliteľný 6.
Príklady 1–3 sú „mechanika" (rozklad, NSD/NSN), príklady 4–5 ukazujú prácu s konečnou množinou kandidátov a dôkaz cez nesúdeliteľnosť — presne to, čo na maturite preverí pochopenie.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪