Druhy telies
Telesá delíme na hranaté a rotačné — podľa toho, či majú rovné steny alebo vznikli rotáciou.
Hranaté telesá
hranol, ihlan, zrezaný ihlan — steny sú mnohouholníky.
Rotačné telesá
valec, kužeľ, guľa — vzniknú rotáciou útvaru okolo osi.
V = objem, S = povrch, Q = plášť, Sp = podstava, v = výška.
Rozlíš hranaté a rotačné.
Hranoly a ihlany
Pre každý hranol a ihlan platia všeobecné vzorce — netreba poznať každé teleso zvlášť.
Hranol
V = Sp · v
S = 2·Sp + Q
Q = obvod podstavy · v (plášť kolmého hranola). Podstavy sú dva zhodné mnohouholníky.
Ihlan
V = ⅓ · Sp · v
S = Sp + Q
Plášť Q tvoria trojuholníky. Pozor: telesová výška v ≠ výška bočnej steny (apotéma).
Ihlan má tretinový objem hranola s rovnakou podstavou a výškou: Vihlan = ⅓ · Vhranol.
Rozvinutím povrchu do roviny dostaneš sieť — z nej spočítaš povrch ako súčet obsahov všetkých stien.
Zadaj obsah podstavy a výšku — porovnaj objemy.
Všeobecné vzorce.
Objem a povrch telies
Šesť vzorcov pokrýva všetky telesá z maturity — vyskúšaj si ich na živej kalkulačke.
Vzorce
kocka: V = a³, S = 6a²
kváder: V = abc, S = 2(ab + bc + ca)
valec: V = πr²v, S = 2πr(r + v)
kužeľ: V = ⅓πr²v, S = πr(r + s), s = √(r² + v²)
guľa: V = (4/3)πr³, S = 4πr²
Vyber teleso a zadaj rozmery.
Vypočítaj V a S.
Rotačné telesá podrobne
Pri kuželi nezabudni na stranu s; pri guli stačí polomer.
Strana kužeľa
s = √(r² + v²) — prepona pravouhlého trojuholníka z r a v.
Guľa
Objem aj povrch závisia len od r: V = (4/3)πr³, S = 4πr².
Over si objemy a povrchy.
Valec, kužeľ, guľa.
Komolé telesá
Keď teleso zrežeme rovinou rovnobežnou s podstavou, vznikne komolé teleso s dvoma rôznymi podstavami.
Komolý kužeľ
V = ⅓πv(r₁² + r₁r₂ + r₂²)
s = √(v² + (r₁ − r₂)²)
Q = πs(r₁ + r₂)
r₁ = dolný polomer, r₂ = horný, v = výška, s = strana.
Komolý ihlan
V = ⅓v(S₁ + √(S₁S₂) + S₂)
S₁, S₂ = obsahy dolnej a hornej podstavy. v = výška medzi nimi.
Komolé teleso = teleso bez vrchnej časti, odrezanej rovinou rovnobežnou s podstavou.
Zadaj polomery a výšku.
Vzorce a vznik.
Uhlopriečky telies
Stenová uhlopriečka leží v stene, telesová prechádza vnútrom telesa — obe odvodíme z Pytagorovej vety.
Stenová uhlopriečka
kocka: us = a√2
V stene kvádra: √(súčet štvorcov dvoch hrán steny).
Telesová — kocka
ut = a√3
Najdlhšia úsečka v kocke, spája protiľahlé vrcholy.
Telesová — kváder
u = √(a² + b² + c²)
Pre kocku (a=b=c) vyjde a√3.
Kocka: stenová a√2, telesová a√3. Kváder: telesová √(a²+b²+c²).
Dvojnásobné použitie Pytagorovej vety.
Zadaj hrany a, b, c.
Stenová a telesová.
Vzájomná poloha v priestore
V priestore môžu byť priamky rovnobežné, rôznobežné, alebo úplne mimo seba — mimobežné.
Dve priamky
rovnobežné (aj totožné), rôznobežné (pretínajú sa v bode), mimobežné (neležia v jednej rovine).
Priamka a rovina
leží v rovine · je s ňou rovnobežná · pretína ju v jednom bode.
Dve roviny
totožné · rovnobežné · rôznobežné — ich prienikom je priamka.
Mimobežky existujú iba v priestore. V rovine sa každé dve priamky buď pretnú, alebo sú rovnobežné.
Kocka ABCDEFGH. Urči vzájomnú polohu dvojice hrán.
Priamky a roviny.
Odchýlky v priestore
Odchýlka je vždy uhol z intervalu od 0° do 90° — nikdy nie tupý.
Dvoch priamok
Uhol medzi nimi. Pri mimobežkách jednu premiestnime rovnobežne tak, aby sa pretli.
Priamky a roviny
Uhol medzi priamkou a jej pravouhlým priemetom do roviny.
Dvoch rovín
Uhol priamok kolmých na prienikovú hranu, po jednej v každej rovine.
Odchýlka telesovej uhlopriečky kocky od roviny podstavy — vyrieš ju cez tangens nižšie.
Krok po kroku k uhlu.
Časté odchýlky, ktoré sa oplatí poznať.
Definície a výpočet.
Vzdialenosti v priestore
Každú vzdialenosť meriame po kolmici — je to vždy najkratšia spojnica.
Bod a rovina
Dĺžka kolmice z bodu na rovinu (päta kolmice je najbližší bod).
Rovnobežné útvary
Vzdialenosť priamky a rovnobežnej roviny (alebo dvoch rovnobežných rovín) = vzdialenosť ľubovoľného ich bodu po kolmici.
Mimobežky
Dĺžka ich spoločnej kolmice — priečky kolmej na obe priamky.
Vzdialenosť je vždy meraná po kolmici — žiadna iná spojnica nie je kratšia.
Over si princíp na kocke.
Bod, rovina, mimobežky.
Rezy telies
Rez telesa rovinou je mnohouholník — jeho strany ležia na stenách telesa.
Ako zostrojiť rez
Nájdi priesečníky roviny s hranami telesa. Dva body rezu ležiace v tej istej stene spoj úsečkou.
Stopa roviny
Priesečnica roviny rezu s rovinou podstavy (alebo steny). Pomáha dokresliť chýbajúce body rezu.
V dvoch rovnobežných stenách sú úsečky rezu rovnobežné. Rez kocky môže byť trojuholník až šesťuholník.
Princíp konštrukcie rezu.
Eulerova veta a pravidelné mnohosteny
Pre každý mnohosten platí jednoduchý vzťah medzi stenami, hranami a vrcholmi.
Eulerova veta
s − h + v = 2
s = steny, h = hrany, v = vrcholy (pre mnohosteny). Napr. kocka: 6 − 12 + 8 = 2.
Over počty stien, hrán a vrcholov.
A teraz päť výnimočných telies, pre ktoré Eulerova veta platí dokonale:
Štvorsten
4 rovnostranné trojuholníky
4 − 6 + 4 = 2 ✓
Kocka
6 štvorcov
6 − 12 + 8 = 2 ✓
Osemsten
8 trojuholníkov
8 − 12 + 6 = 2 ✓
Dvanásťsten
12 päťuholníkov
12 − 30 + 20 = 2 ✓
Dvadsaťsten
20 trojuholníkov
20 − 30 + 12 = 2 ✓
Existuje práve 5 pravidelných mnohostenov — všetky steny sú zhodné pravidelné mnohouholníky a v každom vrchole sa ich stretáva rovnako veľa. Eulerova veta platí pre všetky.
Platónske telesá a Euler.
Záverečný kvíz
Štrnásť otázok naprieč celou témou — vzorce, uhlopriečky, odchýlky aj Euler.
Otestuj sa cez celú tému Telesá.