Súbor, znak a početnosti
Štatistika opisuje dáta — najprv ich utriedime do tabuľky početností.
Súbor a znak
Štatistický súbor M, rozsah n = |M|. Znak je kvantitatívny (číslo) alebo kvalitatívny (kategória).
Početnosti
Absolútna nᵢ = koľkokrát sa hodnota vyskytuje. Relatívna = nᵢ/n.
Súbor, znak, početnosti.
Triedenie a tabuľka rozdelenia
Veľa dát najprv usporiadame a roztriedime — do tabuľky rozdelenia početností.
Tabuľka rozdelenia
Pre každú hodnotu xᵢ uvedieme absolútnu početnosť nᵢ, relatívnu fᵢ = nᵢ/n a kumulatívnu Nᵢ — koľko hodnôt je menších alebo rovných xᵢ.
Intervalové (triedne) rozdelenie
Pri veľkom počte dát ich rozdelíme do tried (intervalov) rovnakej šírky. Ako zástupcu triedy berieme jej stred.
| xᵢ | nᵢ (absolútna) | fᵢ = nᵢ/n | Nᵢ (kumulatívna) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0,2 | 2 |
| 2 | 3 | 0,3 | 5 |
| 3 | 4 | 0,4 | 9 |
| 4 | 1 | 0,1 | 10 |
| Σ | 10 | 1,0 | — |
Vážený priemer použije početnosti: x̄ = (Σ xᵢ·nᵢ)/n. Pre tabuľku vyššie: x̄ = (1·2 + 2·3 + 3·4 + 4·1)/10 = 24/10 = 2,4. Modus = 3 (najväčšia nᵢ), medián = 2,5 (priemer 5. a 6. hodnoty v poradí).
Pri intervalovom triedení sa počet tried často volí Sturgesovým pravidlom k ≈ 1 + 3,3·log n. Triedy sa nesmú prekrývať a spolu musia pokryť všetky dáta.
Tabuľka x: 1, 2, 3, 4 · n: 2, 3, 4, 1 (n = 10).
Početnosti a triedenie.
Diagramy a grafy
Rozdelenie dát zobrazíme grafom — a opačne, z grafu vieme dáta prečítať.
Typy grafov
Stĺpcový a obrázkový pre kategórie, kruhový pre podiely na celku, spojnicový (lomený) pre vývoj v čase, histogram pre intervalové rozdelenie.
Kruhový diagram
Uhol výseku zodpovedá relatívnej početnosti: uhol = fᵢ · 360°. Súčet všetkých výsekov je 360°.
Stĺpce stĺpcového diagramu sú oddelené (kategórie). V histograme na seba nadväzujú (spojité intervaly) a šírka stĺpca zodpovedá šírke triedy.
Zadaj kategórie v tvare znak:počet, oddelené čiarkou.
Čítanie a tvorba diagramov.
Charakteristiky polohy a variability
Priemer, modus a medián opíšu „stred"; rozptyl a odchýlka opíšu rozptýlenie.
Charakteristiky
priemer x̄ = (Σ xᵢ)/n
vážený = (Σ xᵢ·nᵢ)/n
modus = najčastejšia hodnota, medián = prostredná hodnota
rozptyl s² = (Σ(xᵢ−x̄)²)/n, odchýlka s = √s²
Zadaj čísla oddelené čiarkou alebo medzerou.
Vypočítaj priemer, modus, medián.
Ktorý priemer? Závisí od kontextu
„Priemerná hodnota" nemusí byť vždy aritmetický priemer — záleží, čo počítame.
Aritmetický a vážený
x̄ = (Σxᵢ)/n. Ak majú hodnoty rôzne početnosti či váhy, použijeme vážený priemer (Σxᵢ·nᵢ)/Σnᵢ.
Geometrický a harmonický
Pre rast či úrok: geometrický priemer ⁿ√(x₁·x₂·…·xₙ). Pre priemernú rýchlosť tam a späť sa hodí harmonický priemer.
Aritmetický priemer ťahá aj jedna extrémna hodnota (napr. jeden veľmi vysoký plat). Pri vychýlených dátach lepšie opíše „typickú" hodnotu medián.
Prečo nie aritmetický priemer percent.
Kontext priemernej hodnoty.
Poloha vs variabilita
Dva súbory môžu mať rovnaký priemer, ale rôznu variabilitu.
Polohy
priemer, modus, medián — kde sa dáta sústreďujú.
Variability
variačné rozpätie R = max − min, rozptyl, smerodajná odchýlka.
Over si charakteristiky súboru.
Rozptyl a rozpätie.
Kvartily a krabicový graf
Kvartily rozdelia usporiadané dáta na štyri rovnako veľké časti — a krabicový graf ich ukáže naraz.
Kvartily a IQR
Q₂ je medián. Q₁ je medián dolnej polovice, Q₃ medián hornej. Medzikvartilové rozpätie IQR = Q₃ − Q₁ pokrýva stredných 50 % dát.
Percentil
p-tý percentil je hodnota, pod ktorou leží p % dát. Medián = 50. percentil, Q₁ = 25. a Q₃ = 75. percentil.
Súbor usporiadame. Pri nepárnom počte medián do polovíc nezahŕňame, pri párnom rozdelíme presne na polovice. (Existujú aj iné konvencie — drž sa tej zo školy.) Krabicový graf vykreslí čiaru min — Q₁ — medián — Q₃ — max.
Zadaj čísla; vykreslí sa krabicový graf.
Okrem polohy a variability sem patrí aj rozdelenie pravdepodobnosti, normálne rozdelenie a bernoulliovské pokusy — tým sa venuje téma Pravdepodobnosť.
Q₁, Q₃, IQR a box plot.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok — od početností a grafov cez priemery až po kvartily.
Otestuj sa cez celú štatistiku.