Uhol — stupne a radiány
Skôr než povieme, čo je sínus a kosínus, dohodneme sa, ako meriame uhol. Používame dve miery — stupňovú a oblúkovú (radiány) — a treba ich vedieť bez chyby prepínať.
Stupňová miera
Plný uhol má 360°, priamy 180°, pravý 90°. Toto poznáš zo základnej školy.
Oblúková miera (radián)
1 radián = dĺžka oblúka na jednotkovej kružnici (polomer 1). Plný uhol má 2π rad.
180° = π rad
Z neho: stupne → radiány vynásob π/180; radiány → stupne vynásob 180/π.
Časté uhly, ktoré sa oplatí vedieť spamäti
| stupne | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| radiány | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
Zadaj uhol v stupňoch alebo klikni na častý uhol. Ukáže sa presná hodnota v radiánoch aj desatinne.
V radiánoch je uhol = dĺžka oblúka na jednotkovej kružnici. Vďaka tomu sú vzorce v matematickej analýze (derivácie, limity) krajšie. Na maturite však často stačí prepnúť cez 180° = π.
Otestuj sa
Sínus a kosínus v pravouhlom trojuholníku
Pre ostrý uhol α ∈ ⟨0°, 90°⟩ definujeme sínus a kosínus ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Toto je historicky prvá a najnázornejšia definícia.
Sínus
sin α = protiľahlá / prepona — pomer odvesny oproti uhlu k prepone.
Kosínus
cos α = priľahlá / prepona — pomer odvesny pri uhle k prepone.
Sínus = protiľahlá / prepona · Kosínus = priľahlá / prepona. Prepona (najdlhšia strana oproti pravému uhlu) je v menovateli vždy.
Meň veľkosť uhla α posuvníkom a sleduj, ako sa menia pomery strán — to sú presne sin α a cos α.
Čo ak je prepona dlhá presne 1? Potom sin α = protiľahlá a cos α = priľahlá priamo — bez delenia! Takúto „prepona = 1" situáciu dostaneme, keď vrchol uhla položíme do stredu jednotkovej kružnice. Práve tak rozšírime definíciu na ľubovoľný uhol — pokračuj do sekcie 03.
Otestuj sa
Definícia na jednotkovej kružnici
Jednotková kružnica má stred v počiatku a polomer 1. Uhlu α (meranému od kladnej osi x proti smeru hodinových ručičiek) zodpovedá bod P na kružnici.
P = [cos α, sin α]
cos α je x-ová súradnica bodu P, sin α je jeho y-ová súradnica. Funguje pre každý uhol — aj tupý, aj záporný, aj väčší než 360°.
Ťahaj posuvník alebo klikni na uhol. Sleduj bod P, jeho priemety na osi (cos = vodorovný, sin = zvislý) a znamienka.
Znamienka v kvadrantoch
Podľa toho, v ktorej štvrtine leží bod P, majú súradnice cos a sin rôzne znamienka:
| kvadrant | I. (0°–90°) | II. (90°–180°) | III. (180°–270°) | IV. (270°–360°) |
|---|---|---|---|---|
| sin α | + | + | − | − |
| cos α | + | − | − | + |
sin kopíruje znamienko súradnice y (hore +, dole −). cos kopíruje znamienko súradnice x (vpravo +, vľavo −). Stačí si predstaviť, kde bod P leží.
Bod P leží na kružnici x² + y² = 1. Keďže x = cos α a y = sin α, dostávame rovno cos²α + sin²α = 1 (podrobne v sekcii 08).
Otestuj sa
Hodnoty vo významných uhloch
Týchto päť hodnôt sa oplatí vedieť naspamäť — objavujú sa takmer v každom príklade. Sú to len súradnice bodu na kružnici vo významných uhloch.
| uhol | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| v radiánoch | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
Sínus rastie ako √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1.
Kosínus je presne opačné poradie (od 1 po 0). Stačí si pamätať jeden riadok.
Klikni na uhol — ukáže sa presná hodnota sin a cos aj poloha bodu [cos, sin] na kružnici.
V 0° je bod vpravo [1, 0] → cos = 1, sin = 0. V 90° je hore [0, 1] → cos = 0, sin = 1. Hodnoty v tabuľke nie sú nič iné než tieto súradnice.
Otestuj sa
Uhol základnej veľkosti a redukčné vzťahy
Tabuľku poznáme len do 90°. Čo s uhlom ako 150° alebo 300°? Každý uhol vieme „premietnuť" na uhol základnej veľkosti z prvého kvadrantu a doplniť správne znamienko podľa kvadrantu.
Kľúčové vzťahy (symetrie a perióda)
cos(−α) = ?
cos(−α) = cos α
cos(90°−α) = ?
cos(90°−α) = sin α
cos(180°−α) = ?
cos(180°−α) = −cos α
cos(α + 360°) = ?
cos(α + 360°) = cos α
Vyber uhol mimo prvého kvadrantu. Ukáže sa kvadrant, základný uhol, znamienka a výsledná presná hodnota.
Zlé znamienko! Najprv urči kvadrant a z tabuľky znamienok (sekcia 03) zisti, či má sin/cos byť + alebo −. Až potom dosaď veľkosť z tabuľky 0°–90°.
Otestuj sa
Grafy funkcií sin a cos
Keď bod obieha kružnicu a vynášame jeho výšku (sin) alebo posun do strán (cos) proti uhlu, vznikne vlnitá krivka — sínusoida, resp. kosínusoida. Obe sa opakujú s periódou 2π.
Zapni sin / cos / oba. Tlačidlom zvýrazni nulové body, extrémy alebo intervaly rastu a klesania.
Vlastnosti — prehľad pre maturitu
| vlastnosť | y = sin x | y = cos x |
|---|---|---|
| definičný obor D(f) | ℝ | ℝ |
| obor hodnôt H(f) | ⟨−1, 1⟩ | ⟨−1, 1⟩ |
| najmenšia perióda | 2π | 2π |
| nulové body | x = kπ | x = π/2 + kπ |
| maximum (= 1) | x = π/2 + 2kπ | x = 2kπ |
| minimum (= −1) | x = 3π/2 + 2kπ | x = π + 2kπ |
| párnosť | nepárna: sin(−x) = −sin x | párna: cos(−x) = cos x |
| rastie na ⟨0, 2π⟩ | ⟨0, π/2⟩, ⟨3π/2, 2π⟩ | ⟨π, 2π⟩ |
| klesá na ⟨0, 2π⟩ | ⟨π/2, 3π/2⟩ | ⟨0, π⟩ |
(k je ľubovoľné celé číslo)
Graf kosínusu vznikne posunutím grafu sínusu o π/2 doľava: cos x = sin(x + π/2). Preto majú rovnaký tvar aj periódu.
Otestuj sa
Transformácie grafov
Zo základnej sínusoidy vieme „vyrobiť" tvar y = a · sin(b(x − c)) + d. Každé z písmen mení graf inak — toto je obľúbená maturitná úloha.
Amplitúda
a naťahuje krivku zvisle. Amplitúda = |a|, obor hodnôt sa zväčší/zmenší.
Perióda
b stláča krivku vodorovne. Perióda = 2π / |b|.
Fázový posun
c posúva graf vodorovne (doprava o c).
Zvislý posun
d posúva graf nahor/nadol; stred kmitania je y = d.
Ťahaj posuvníky a · b · c · d a sleduj, ako sa červená krivka mení oproti základnej (šedej) sínusoide.
Z predpisu y = a·sin(b(x − c)) + d rovno prečítaš: amplitúdu |a|, periódu 2π/|b|, obor hodnôt ⟨d − |a|, d + |a|⟩ a posun. Maximum je d + |a|, minimum d − |a|.
Otestuj sa
Základná identita a vzorce
Najdôležitejší vzťah celej goniometrie spája sínus a kosínus jediného uhla. Z neho vieme dopočítať jednu funkciu z druhej.
sin²α + cos²α = 1
Platí pre každý uhol α. Vyplýva priamo z toho, že bod [cos α, sin α] leží na kružnici s polomerom 1.
Odkiaľ sa berie — krok po kroku
Zadaj hodnotu sínusu a kvadrant. Identita doplní kosínus aj so správnym znamienkom.
Ďalšie vzťahy do vzorčekovníka
(cos α ≠ 0)
(poznám sin α)
znamienko podľa kvadrantu
Vzťah tg α = sin α / cos α nás vedie rovno k ďalšej dvojici funkcií — tangens a kotangens. Tým sa budeme venovať v nasledujúcom diele.
Otestuj sa
Základné goniometrické rovnice
Rovnica sin x = a (resp. cos x = a) má nekonečne veľa riešení, lebo funkcia je periodická. Graficky sú to priesečníky krivky s vodorovnou priamkou y = a.
Vyber funkciu a hodnotu a. Ukážu sa priesečníky (riešenia) v ⟨0, 2π⟩, ich počet a všeobecné riešenie.
sin x = a (pre −1 ≤ a ≤ 1)
Dve základné riešenia v ⟨0, 2π): x₁ a x₂ = π − x₁. Všeobecne: x = x₁ + 2kπ alebo x = π − x₁ + 2kπ.
cos x = a (pre −1 ≤ a ≤ 1)
Dve riešenia symetrické podľa osi x: x = ±x₁ + 2kπ. Pre |a| > 1 rovnica nemá riešenie.
Keďže H = ⟨−1, 1⟩, rovnice ako sin x = 2 alebo cos x = −1,5 nemajú riešenie. Vždy najprv skontroluj, či |a| ≤ 1.
Otestuj sa
Riešené príklady
Šesť typov úloh, ktoré sa na maturite z goniometrie objavujú najčastejšie. Klikaj a odkrývaj riešenie krok po kroku — výsledok je zvýraznený.
1 · Prevod uhla na radiány
Preveď 120° na radiány.
2 · Hodnoty z tabuľky
Vypočítaj sin(π/6) + cos(π/3).
3 · Hodnota cez základný uhol
Urči presnú hodnotu cos 150° bez kalkulačky.
4 · Dopočítanie cez identitu
sin α = 3/5 a α je v I. kvadrante. Nájdi cos α.
5 · Vlastnosti transformovanej funkcie
Daná je funkcia y = 2·sin x. Urči jej amplitúdu, periódu a obor hodnôt.
6 · Goniometrická rovnica
Vyrieš rovnicu sin x = 1/2 na intervale ⟨0, 2π⟩.
Príklady 1–2 sú „mechanika" (rýchlo), príklady 3–4 ukazujú prácu so základným uhlom a identitou, príklady 5–6 pokrývajú transformácie a rovnice — práve to, čo na maturite najčastejšie odlíši dvojkára od jednotkára.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — od radiánov cez kružnicu a grafy až po rovnice. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪