Prepona, odvesny, obsah
Pravouhlý trojuholník má jeden pravý uhol — a vďaka tomu kopu pekných vzťahov.
Strany
Prepona c (oproti pravému uhlu), odvesny a, b (na seba kolmé). α + β = 90°.
Obsah
S = ½·a·b
Odvesny sú si navzájom výškami.
Prepona, odvesny, uhly.
Pytagorova veta
Najznámejšia veta matematiky — spája dĺžky všetkých troch strán.
Pytagorova veta
c² = a² + b²
Obmena: ak c² ≠ a² + b², trojuholník nie je pravouhlý.
Zadaj odvesny a, b; vypočíta sa prepona a obsah.
Vypočítaj preponu alebo odvesnu.
Krátky dôkaz pomocou vety o odvesne — postupne odhaľ kroky.
Euklidove vety a goniometria
Výška z pravého uhla rozdelí trojuholník na dva podobné — odtiaľ Euklidove vety.
Euklidove vety
o výške: vc² = cₐ·c_b
o odvesne: a² = c·cₐ, b² = c·c_b
Goniometria
sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b
Over si Euklidove vety a goniometriu.
Použi správny vzorec.
Goniometria ostrého uhla
V pravouhlom trojuholníku definujeme štyri goniometrické funkcie ostrého uhla — len ako pomery strán.
Definície (uhol α)
sin α = protiľahlá / prepona = a/c
cos α = priľahlá / prepona = b/c
tg α = protiľahlá / priľahlá = a/b
cotg α = priľahlá / protiľahlá = b/a
Základné vzťahy
sin²α + cos²α = 1
tg α = sin α / cos α
tg α · cotg α = 1 → cotg α = 1/tg α
Kofunkcie doplnkových uhlov: ak α + β = 90°, tak sin α = cos β, cos α = sin β a tg α = cotg β. Preto napr. sin 30° = cos 60°.
Ktorá odvesna je „protiľahlá" a ktorá „priľahlá" závisí od toho, z ktorého uhla sa pozeráš. Pre uhol β sa všetko otočí: sin β = b/c, cos β = a/c.
Posúvaj uhol a sleduj, ako sa menia strany aj hodnoty funkcií.
Definície a vzťahy medzi funkciami.
Hodnoty 30°, 45°, 60°
Tieto hodnoty treba vedieť naspamäť. Odvodíme ich z dvoch špeciálnych trojuholníkov, takže ich netreba len „bifľovať".
| uhol | sin | cos | tg | cotg |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
Pre uhly 0°, 30°, 45°, 60°, 90° platí sin = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 — teda 0, ½, √2/2, √3/2, 1. Kosínus má tie isté hodnoty v opačnom poradí.
Rovnoramenný pravouhlý (45°)
Vznikne rozpolením štvorca uhlopriečkou. Odvesny v pomere 1 : 1, prepona √2.
→ sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1
Polovica rovnostranného (30°–60°)
Výška rovnostranného trojuholníka ho rozpolí. Odvesny 1 a √3, prepona 2.
→ sin 30° = ½, sin 60° = √3/2, tg 60° = √3
Postupne odhaľ odvodenie z dvoch trojuholníkov.
Skontroluj si pamäť na významné uhly.
Hodnoty a špeciálne trojuholníky.
Riešenie pravouhlého trojuholníka
„Vyriešiť" trojuholník znamená dopočítať všetky strany a uhly. Stačia dva vhodné údaje.
Čo máme zadarmo
Pravý uhol γ = 90° a vzťah α + β = 90°. Preto stačia dva nezávislé údaje (dve strany, alebo strana a ostrý uhol).
Postup
1. Druhý uhol: β = 90° − α.
2. Strany cez goniometriu: a = c·sin α, b = c·cos α (alebo Pytagora).
3. Skúška Pytagorom: a² + b² = c².
Máš stranu a uhol → použi goniometriu. Máš dve strany → použi Pytagora a uhol cez tg α = a/b (arctg).
Dané c = 10, α = 35°. Dopočítaj a, b, β.
Zadaj preponu c a ostrý uhol α; dopočíta sa zvyšok trojuholníka.
Vyber správny vzorec či hodnotu.
Slovné úlohy — elevácia a depresia
Goniometria pravouhlého trojuholníka rieši výšky, vzdialenosti aj sklony, ktoré priamo nezmeriame.
Uhol elevácie
Uhol nahor od vodorovnej roviny k pozorovanému bodu (napr. k vrcholu veže).
Uhol depresie
Uhol nadol od vodorovnej roviny. Uhol depresie zhora = uhol elevácie zdola (striedavé uhly).
Nakresli pravouhlý trojuholník: vodorovná odvesna = vzdialenosť, zvislá odvesna = výška. Uhol elevácie/depresie ulož k vodorovnej strane a použi tangens.
Zo vzdialenosti 50 m vidíš vrchol veže pod uhlom elevácie 32°.
Zadaj vodorovnú vzdialenosť d a uhol elevácie θ.
Elevácia, depresia a praktické výpočty.
Ďalšie vzťahy a Pytagorove trojice
Pár vzťahov navyše, ktoré zrýchlia riešenie a často sa typujú v testoch.
Ťažnica na preponu
tᶜ = c/2
Rovná sa polomeru opísanej kružnice — vrchol pravého uhla je rovnako ďaleko od oboch koncov prepony.
Polomer vpísanej kružnice
ρ = (a + b − c)/2
Platí len pre pravouhlý trojuholník.
Výška na preponu
vᶜ = a·b/c
Spolu s Euklidom: vᶜ² = cₐ·c_b.
Obvod a obsah
o = a + b + c
S = ½·a·b = ½·c·vᶜ
Celé čísla, ktoré spĺňajú a² + b² = c² — oplatí sa ich poznať a nepočítať odmocninu:
Aj ich násobky sú trojice: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26)…
Doplň chýbajúce číslo v Pytagorovej trojici.
Vzorce a rozpoznanie trojíc.
Tálesova kružnica
Pravý uhol vidíme práve z bodov Tálesovej kružnice nad preponou.
Tálesova kružnica
r = c/2
Stred opísanej kružnice leží v strede prepony; vrchol pravého uhla leží na kružnici s priemerom = prepona.
Opísaná kružnica pravouhlého.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok naprieč témou — od Pytagora cez goniometriu až po Euklidove vety a trojice.
Otestuj sa cez celý pravouhlý trojuholník.