Čo je postupnosť
Postupnosť je usporiadaný „zoznam" čísel — formálne funkcia, ktorá každému prirodzenému n priradí člen aₙ.
Funkcia z ℕ
Postupnosť je funkcia na množine ℕ. f(n) = aₙ je n-tý člen.
Konečná / nekonečná
Podľa toho, či je definovaná na {1,…,k} alebo na celej ℕ.
Graf
Množina izolovaných bodov [n, aₙ] — nie spojitá čiara.
Podľa toho, ako členy súvisia, rozlišujeme aritmetickú postupnosť (stály rozdiel susedných členov, téma 17) a geometrickú (stály podiel, téma 18). Sú to špeciálne prípady postupností.
Vyber správne tvrdenie.
Spôsoby určenia postupnosti
Tú istú postupnosť vieme zadať vzorcom, vymenovaním, graficky alebo rekurentne.
Vzorcom / vymenovaním
aₙ = 2n + 3 ⇒ 5, 7, 9, 11, … alebo priamo {1, 4, 9, 16, …}.
Rekurentne
Poznáme začiatočný člen a predpis: a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 3. Napr. Fibonacci: aₙ₊₂ = aₙ + aₙ₊₁.
Klikni a over si prvé štyri členy.
Z prvých členov hádame predpis: ak je rozdiel susedných stály ⇒ aₙ = a₁ + (n − 1)d (aritmetická); ak je stály podiel ⇒ aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ (geometrická). Pri 1, 4, 9, 16 sú to druhé mocniny ⇒ aₙ = n².
Daná je rekurentne: a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 3. Nájdi vzorec pre aₙ.
Dopočítaj člen z predpisu.
Monotónnosť postupnosti
Či postupnosť rastie alebo klesá, rozhodneme porovnaním susedných členov.
Monotónne typy
rastúca: aₙ₊₁ > aₙ · klesajúca: aₙ₊₁ < aₙ · nerastúca: ≤ · neklesajúca: ≥ · konštantná: =
Ako to dokázať
Posúdime znamienko rozdielu aₙ₊₁ − aₙ (pri kladných členoch aj podiel aₙ₊₁/aₙ).
Dokáž, že aₙ = 2n − 1 je rastúca.
Rozhodni o type postupnosti.
Ohraničenosť postupnosti
Postupnosť je ohraničená, ak sa všetky jej členy zmestia medzi dve čísla.
Ohraničená zhora
∃ h ∈ ℝ, ∀ n: aₙ ≤ h
Ohraničená zdola
∃ d ∈ ℝ, ∀ n: aₙ ≥ d
Ak je ohraničená zhora aj zdola. Napr. aₙ = 1/n spĺňa 0 < aₙ ≤ 1 ⇒ ohraničená.
Čo robí aₙ pre veľmi veľké n — to je limita (téma 20).
Dokáž, že aₙ = n/(n+1) je ohraničená.
Rozhodni o ohraničenosti.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok cez určenie, monotónnosť, ohraničenosť aj špeciálne typy.
Otestuj sa cez celú tému Postupnosti.