Zhodné a podobné zobrazenia
Podobné zobrazenie mení všetky vzdialenosti v rovnakom pomere k. Zhodné zobrazenie je jeho špeciálny prípad, keď sa nič nemení (k = 1).
Koeficient podobnosti
|X′Y′| = k·|XY|, k > 0
k = 1 zhodnosť · k > 1 zväčšenie · k < 1 zmenšenie
Zhodné zobrazenia (k = 1) zachovávajú vzdialenosti: osová a stredová súmernosť, posunutie, otočenie, identita. Podobné zobrazenia vzdialenosti menia v pomere k — patrí sem aj rovnoľahlosť.
Rozpoznaj zhodnosť, zväčšenie, zmenšenie.
Zhodné zobrazenia
Zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti: |X′Y′| = |XY|. Máme päť základných druhov.
Identita
Každý bod sa zobrazí sám na seba. Všetky body sú samodružné.
Osová súmernosť O(o)
Preklopenie podľa osi o. Samodružné sú práve body osi. Nepriame — mení orientáciu.
Stredová súmernosť S(S)
Preklopenie cez stred S. Samodružný je len bod S. Priame. Je to otočenie o 180°.
Posunutie T(v⃗)
Posun o vektor v⃗. Ak v⃗ ≠ o⃗, nemá samodružný bod. Priame.
Otočenie R(S, φ)
Otočenie okolo stredu S o uhol φ. Samodružný je len stred S. Priame.
Skladanie
Zložením dvoch zhodných zobrazení vznikne opäť zhodné zobrazenie. Dve osové súmernosti: rovnobežné osi → posunutie, rôznobežné → otočenie.
Priame zobrazenia zachovávajú orientáciu (posunutie, otočenie, stredová súmernosť, identita). Nepriame ju prevracajú (osová súmernosť, posunutá súmernosť).
Pre každé zobrazenie samodružné body + priame/nepriame.
Druhy, samodružné body, orientácia.
Rovnoľahlosť (homotetia)
Rovnoľahlosť so stredom S a koeficientom λ ≠ 0 zväčšuje/zmenšuje útvar zo stredu S.
Definícia H(S, λ)
Bod X sa zobrazí na X′ tak, že X′ leží na priamke SX a SX′ = λ · SX (orientovane).
λ > 0 → tá istá polpriamka · λ < 0 → opačná polpriamka
λ = 1 identita · λ = −1 stredová súmernosť
Vlastnosti
Priamku zobrazí na rovnobežku (alebo tú istú, ak prechádza S). Zachováva uhly, rovnobežnosť aj deliaci pomer. Vzdialenosti mení |λ|-krát.
Kružnica a samodružnosť
Kružnicu s polomerom r zobrazí na kružnicu s polomerom |λ|·r. Jediný samodružný bod je stred S.
Z S veď polpriamky cez vrcholy, na každej nanes λ-násobok vzdialenosti od S.
Ako zostrojiť obraz trojuholníka.
λ, samodružný bod, obraz priamky a kružnice.
Podobné zobrazenie a jeho vlastnosti
Podobné zobrazenie spája rovnoľahlosť (zmena veľkosti) so zhodným zobrazením (poloha a orientácia).
Veta o rozklade
Každé podobné zobrazenie s koeficientom k sa dá zložiť z rovnoľahlosti H(S, k) a zhodného zobrazenia.
podobnosť = rovnoľahlosť ∘ zhodnosť
Čo podobnosť ZACHOVÁVA
Veľkosť uhlov, rovnobežnosť priamok, pomer dĺžok (deliaci pomer), kolmosť, „tvar" útvaru.
Čo podobnosť MENÍ
Dĺžky úsečiek (× k), obvod (× k), obsah (× k²), objem (× k³). Vzdialenosti sa nezachovávajú.
Dva útvary sú podobné (U ∼ U′), ak existuje podobné zobrazenie, ktoré jeden zobrazí na druhý. Zhodnosť je podobnosť s k = 1.
Roztrieď invarianty podobnosti.
Rozklad a invarianty.
Podobnosť trojuholníkov
Na dôkaz podobnosti dvoch trojuholníkov stačí jedna z viet sss, sus, uu.
Vety o podobnosti trojuholníkov
sss — pomery všetkých troch strán sú rovnaké
sus — zhodný uhol a rovnaký pomer dvoch priľahlých strán
uu — zhoda v dvoch uhloch (tretí dopočítaš)
Spoločný uhol + ďalší zhodný uhol ⇒ podobnosť podľa uu. Pri podobnosti sú zodpovedajúce uhly zhodné a strany v pomere k.
Priraď situáciu k vete o podobnosti.
Použi pomer podobnosti.
Použi správnu vetu a pomer.
Tálesova veta a delenie úsečky
Rovnobežky, ktoré pretínajú dve rôznobežky vychádzajúce z jedného bodu, na nich vytínajú úseky v rovnakých pomeroch.
Tálesova veta
a : a′ = b : b′
Pomer úsekov na jednej rôznobežke sa rovná pomeru zodpovedajúcich úsekov na druhej.
Tálesova veta umožňuje rozdeliť úsečku v ľubovoľnom pomere len pravítkom a kružidlom — bez merania.
Konštrukcia rozdelenia úsečky.
Pomer, počet dielikov, stredná priečka.
Eukleidove vety
Výška na preponu rozdelí pravouhlý trojuholník na dva menšie — všetky tri sú navzájom podobné (uu). Z toho plynú dve mocné vety.
Veta o výške
v_c² = c_a · c_b
Výška na preponu na druhú = súčin úsekov prepony.
Veta o odvesne
a² = c · c_a, b² = c · c_b
Odvesna na druhú = prepona × jej úsek.
Sčítaním viet o odvesnách: a² + b² = c·c_a + c·c_b = c·(c_a + c_b) = c². To je Pytagorova veta.
Prečo platí a² + b² = c².
Výška, odvesna, súvis s Pytagorom.
Pomer obvodov, obsahov a objemov
Pozor na mocniny: dĺžky rastú lineárne, obsahy s druhou a objemy s treťou mocninou koeficientu.
Dĺžky / obvody
pomer k
Strany aj obvod v pomere k.
Obsahy
pomer k²
Plocha rastie s druhou mocninou.
Objemy
pomer k³
Pri telesách s treťou mocninou.
Keď sa strany zväčšia k-krát, obsah nevzrastie k-krát, ale k²-krát. Pri k = 3 je to 9× väčší obsah a 27× väčší objem.
Mierka 1 : m znamená, že 1 cm na mape = m cm v skutočnosti. Vzdialenosť na mape vynásob m a preveď jednotky.
Obsahy, objemy, mierka mapy.
Podobnosť v praxi
Podobnosť rieši merania v teréne aj objavuje vzory v prírode a umení.
Stredná priečka trojuholníka
Spojnica stredov dvoch strán je rovnobežná s treťou stranou a má jej polovičnú dĺžku. Je to rovnoľahlosť s k = ½.
Meranie cez tieň
Predmet a jeho tieň tvoria podobné trojuholníky: výška / tieň = Výška / Tieň. Tak zmeriaš strom či vežu.
Zlatý rez
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618
Pomer, ktorý sa „opakuje sám v sebe" — samopodobnosť v umení aj prírode.
Mapy a plány
Mapa je podobné zmenšenie krajiny v danej mierke. Plán budovy funguje rovnako.
Tieň, zlatý rez, mierka.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok naprieč celou témou — od koeficientu cez rovnoľahlosť a Eukleidove vety po objemy.
Otestuj sa cez celú tému.