Nekonečný rad a čiastočné súčty
Čo znamená „sčítať nekonečne veľa čísel" a kedy to dáva konečný výsledok.
Nekonečný rad
Členy postupnosti postupne sčítavame: a₁ + a₂ + a₃ + … (zápis Σ aᵢ).
Čiastočný súčet
sₙ = a₁ + … + aₙ. Ak má postupnosť (sₙ) konečnú limitu s, rad konverguje.
Rad a čiastočné súčty.
Konvergencia a súčet radu
O všetkom rozhoduje kvocient: ak je v absolútnej hodnote menší než 1, nekonečné sčítanie sa „ustáli".
Nekonečný súčet
konverguje ⇔ |q| < 1
s = a₁ / (1 − q) (|q| < 1)
Konečný súčet (prvých n členov)
sₙ = a₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q)
Platí pre každé q ≠ 1. Pri |q| < 1 z neho (qⁿ → 0) vznikne nekonečný súčet.
Pre |q| ≥ 1 rad diverguje. Vzorec a₁/(1 − q) platí len pri |q| < 1.
Ak rad konverguje, musí platiť aₙ → 0. Opak neplatí: harmonický rad 1 + ½ + ⅓ + … má členy → 0, no diverguje. Pre geometrický rad je presnou podmienkou |q| < 1.
Mení a₁ a q a sleduj, či rad konverguje a aký má súčet.
Prečo s = a₁/(1 − q)?
Rozhodni a spočítaj.
Periodické desatinné číslo na zlomok
Najkrajšia aplikácia: nekonečný rad premení 0,333… na presný zlomok 1/3.
Periodické desatinné číslo je nekonečný geometrický rad — preto sa vždy dá zapísať ako zlomok.
Rýdzo periodické
Perióda hneď za desatinnou čiarkou (0,3̄ ; 0,72̄). Perióda je geometrický rad: a₁ = perióda/10ᵏ, q = 1/10ᵏ, kde k je dĺžka periódy.
Zmiešané (s predperiódou)
Najprv neperiodická časť, potom perióda (0,16̄). Predperiódu pripočítaš zvlášť, perióda zostáva geometrickým radom.
Klikni a over si prevod.
Preveď 0,1666… (predperióda 1, perióda 6) na zlomok.
Preveď na zlomok.
Aplikácie a slovné úlohy
Nekonečný geometrický rad nie je len teória — opisuje odrazy lopty, vrstvenie útvarov aj slávne Zenónove paradoxy.
Odrážajúca sa lopta
Po každom odraze lopta vystúpi do zlomku r predošlej výšky → výšky tvoria geometrickú postupnosť, celková dráha je rad.
Vrstvené útvary
Štvorce či trojuholníky so stále menšou stranou: obsahy aj obvody tvoria geometrický rad s konečným súčtom.
Zenónove paradoxy
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 — nekonečne veľa krokov, no konečná dráha.
1) Urči, čo tvorí geometrickú postupnosť (výšky, obsahy, dĺžky). 2) Nájdi a₁ a q. 3) Over |q| < 1. 4) Dosaď do s = a₁/(1 − q). Pri odrazoch nezabudni, že lopta ide hore aj dole.
Lopta padá z 9 m, po každom odraze vystúpi do 2/3 výšky. Akú celkovú dráhu prejde?
Aplikuj vzorec na reálne situácie.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok od podmienky konvergencie cez aplikácie po prevod na zlomok.
Cez celú tému — konvergencia, súčet aj periodické čísla.