Mocnina s celým exponentom
Mocnina je skrátený zápis opakovaného násobenia. Rozšírime ju z prirodzených na celé exponenty.
Prirodzený exponent
aⁿ = a·a·…·a (n-krát). Rekurentne aⁿ⁺¹ = aⁿ·a.
Nulový exponent
a⁰ = 1 pre a ≠ 0. Hodnota 0⁰ nie je definovaná.
Záporný exponent
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0). Pre celý exponent treba a ≠ 0.
(−2)² = 4, ale −2² = −4 (mocní sa len 2). Záporný základ + párny exponent ⇒ kladné; + nepárny ⇒ záporné.
Klikni správnu odpoveď. Po odpovedi uvidíš vysvetlenie.
Vety o mocninách
Päť pravidiel, ktorými upravíme akýkoľvek mocninový výraz. Platia pre a, b ≠ 0 a celé exponenty.
Násobenie a delenie
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Mocnina mocniny a súčinu
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
(a + b)² ≠ a² + b². Správne (a + b)² = a² + 2ab + b². Pri sčítaní mocnín žiadne pravidlo nie je.
Klikni na kartu a over si výsledok úpravy.
Vyber správnu úpravu.
Odmocniny a racionálny exponent
Odmocnina je opačná operácia k mocneniu — a zároveň sa dá zapísať ako mocnina so zlomkovým exponentom.
n-tá odmocnina
ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a, kde a ≥ 0, b ≥ 0.
ⁿ√a = a^(1/n)
Racionálny exponent
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Definované pre a > 0.
Vety o odmocninách
ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b
ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
(pre a, b ≥ 0, b ≠ 0)
Odmocnina mocniny a odmocniny
(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ·ⁿ√a
Mocninu rozširujeme aj na reálny exponent: pre a > 0 má aˣ zmysel pre každé x ∈ ℝ. To vedie k exponenciálnej funkcii y = aˣ a k exponenciálnym aj logaritmickým rovniciam.
√(−4) v ℝ neexistuje. Nepárna odmocnina záporného čísla existuje: ³√(−8) = −2.
Prepoj mocniny a odmocniny.
Úpravy odmocnín a usmerňovanie
Dve úpravy, ktoré sa na maturite objavujú stále: vybratie spred odmocniny a odstránenie odmocniny z menovateľa.
Čiastočné odmocňovanie
√(a²·b) = |a|·√b. Napr. √50 = 5√2.
Usmerňovanie
Odmocninu z menovateľa odstránime rozšírením (odmocninou alebo združeným výrazom).
Over si typické úpravy odmocnín.
Usmerni zlomok 1/(√5 − √2).
Vyber správny výsledok úpravy.
Vedecký zápis čísla
Veľmi veľké a veľmi malé čísla zapíšeme prehľadne pomocou mocniny desiatich.
Číslo zapíšeme ako a · 10ᵏ, kde 1 ≤ |a| < 10 a k ∈ ℤ. Napr. 4 500 000 = 4,5·10⁶, 0,00031 = 3,1·10⁻⁴.
Preveď a počítaj vo vedeckom tvare.
Binomická veta a Pascalov trojuholník
Mocninu dvojčlena (a + b)ⁿ rozvinieme bez zdĺhavého násobenia — pomocou kombinačných čísel.
Binomická veta
(a + b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ
Koeficienty C(n,k) sú čísla z n-tého riadka Pascalovho trojuholníka; súčet exponentov je vždy n.
Kombinačné číslo a (k+1)-vý člen
C(n,k) = n! / [k!·(n − k)!]
Tₖ₊₁ = C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ
1 · 1 1 · 1 2 1 · 1 3 3 1 · 1 4 6 4 1 — každé číslo je súčtom dvoch nad ním. Riadky dávajú koeficienty rozvoja.
Klikaj a sleduj, ako vzniká rozvoj.
Over si koeficienty a rozvoj.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok maturitného typu cez celé Mocniny — od celého exponentu po binomickú vetu.
Otestuj sa naprieč celou témou. Veľa šťastia!