Množina bodov, kružnica a kruh
Kružnica je najznámejšia množina bodov — body v rovnakej vzdialenosti od stredu.
Množina bodov
Každý bod útvaru U má danú vlastnosť a každý bod mimo U ju nemá.
Kružnica a kruh
k(S,r) = { X : |SX| = r }
K(S,r) = { X : |SX| ≤ r }
Útvar G je množinou bodov s vlastnosťou V, práve keď platia obe inklúzie:
Práve na tieto dve inklúzie sa odvoláva dôkaz v konštrukčnej úlohe.
Vlastnosť bodu a jej množina.
Os úsečky a os uhla
Dve najpoužívanejšie množiny pri konštrukciách — rozpoľujú úsečku a uhol.
Os úsečky
{ X : |AX| = |BX| }
Priamka kolmá na úsečku v jej strede.
Os uhla
Body rovnako vzdialené od oboch ramien uhla.
Over si typické množiny bodov.
Priraď množinu k vlastnosti.
Ekvidištanty — rovnobežky a sústredné kružnice
Ekvidištanta je množina bodov, ktoré majú od daného útvaru konštantnú vzdialenosť d. Od priamky vzniknú dve rovnobežky, od kružnice dve sústredné kružnice.
Rovnobežky od priamky
{ X : v(X, p) = d }
Dvojica rovnobežiek s p vo vzdialenosti d — z oboch strán priamky.
Os pásu
{ X : v(X,p) = v(X,q) }
Body rovnako vzdialené od dvoch rovnobežiek p, q. Je to stredná rovnobežka (os pásu).
Sústredné kružnice
{ X : v(X,k) = d }
Pre k(S,r) sú to dve kružnice so stredom S a polomermi r+d a r−d (pri d<r).
Ekvidištanta priamky sú vždy dve rovnobežky — nie jedna. Jedna priamka by zachytila len jednu polrovinu.
Rovnobežky, os pásu a sústredné kružnice.
Tálesova kružnica
Tálesova kružnica je množina vrcholov pravých uhlov nad úsečkou.
Tálesova kružnica
τ = { X : uhol AXB = 90° }
Kružnica s priemerom AB. Z každého jej bodu vidíme úsečku AB pod pravým uhlom.
Hľadaný bod často nájdeme ako priesečník dvoch množín bodov (napr. stred opísanej kružnice = priesečník osí strán).
Využitie množín bodov.
Množina bodov daného uhla (kruhový oblúk)
Z ktorých bodov vidíme úsečku AB pod daným uhlom φ? Odpoveď je oblúk — priame zovšeobecnenie Tálesovej kružnice.
Oblúk daného uhla
{ X : |∠AXB| = φ }, 0° < φ < 180°
Je to dvojica zhodných kružnicových oblúkov nad úsečkou AB (po oboch stranách priamky AB). Krajné body A, B do množiny nepatria.
Obvodový uhol nad tetivou je polovicou príslušného stredového uhla. Preto sú všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom zhodné — a množinou je oblúk.
Oblúk, obvodový a stredový uhol.
Konštrukčné úlohy — rozbor, konštrukcia, dôkaz, diskusia
Neznámy bod určíme ako priesečník dvoch množín bodov — každá zachytí jednu podmienku zo zadania. Úplné riešenie má štyri časti.
1. Rozbor
Náčrt hotového útvaru. Určíme, ktorá množina bodov reprezentuje ktorú podmienku zadania.
2. Konštrukcia
Zápis postupu krokov rysovania (slovne alebo symbolmi), zakončený zostrojením útvaru.
3. Dôkaz
Overíme charakteristickú vlastnosť — zostrojený útvar naozaj spĺňa všetky podmienky zadania.
4. Diskusia
Počet riešení podľa vzájomnej polohy množín (0, 1, 2, …); pri parametri aj podmienky riešiteľnosti.
Vyriešený príklad
Klikaj a sleduj rozbor → konštrukciu → dôkaz → diskusiu.
Poradie krokov, dôkaz aj diskusia.
Aplikácie — opísaná, vpísaná kružnica a dotyčnica
Tri klasické maturitné konštrukcie, ktoré stoja celé na množinách bodov.
Kružnica opísaná
O = priesečník osí strán
O je rovnako vzdialený od všetkých troch vrcholov, polomer R = |OA|.
Kružnica vpísaná
I = priesečník osí uhlov
I je rovnako vzdialený od všetkých troch strán, polomer ρ = v(I, strana).
Dotyčnica z bodu mimo kružnice
Dotyčnica je kolmá na polomer v dotykovom bode, takže ∠STM = 90°. Bod T preto leží na Tálesovej kružnici nad SM. Konštrukcia: T = k ∩ τ(SM). Z vonkajšieho bodu vedú práve dve dotyčnice.
Podobne sa zostroja spoločné dotyčnice dvoch kružníc (vonkajšie a vnútorné) — tiež cez Tálesovu kružnicu a pomocnú kružnicu s polomerom r₁ ± r₂.
Opísaná, vpísaná kružnica a dotyčnica.
Kuželosečky ako množiny bodov
Aj kuželosečky sú množiny bodov danej vlastnosti — opísané vzdialenosťami od ohnísk, prípadne od ohniska a riadiacej priamky.
Na niektorých školách súčasť tejto témy, inde samostatný okruh kuželosečiek. Ohniskové definície ako množiny bodov sa však prirodzene hodia sem.
Elipsa
{ X : |F₁X| + |F₂X| = 2a }
Súčet vzdialeností od dvoch ohnísk je konštantný (2a > |F₁F₂|).
Hyperbola
{ X : ‖F₁X|−|F₂X‖ = 2a }
Absolútna hodnota rozdielu vzdialeností je konštantná (2a < |F₁F₂|).
Parabola
{ X : |FX| = v(X, d) }
Body rovnako vzdialené od ohniska F a riadiacej priamky d.
Kružnica je špeciálny prípad elipsy, keď obe ohniská splynú (F₁ = F₂) — vtedy je súčet vzdialeností presne 2r.
Priraď definíciu k správnej krivke.
Ohniskové definície elipsy, hyperboly a paraboly.
Záverečný kvíz
Trinásť otázok cez celú tému — základné množiny, oblúk daného uhla, konštrukcie aj kuželosečky.
Otestuj sa cez celú tému — a uzavri celú sériu maturitných okruhov!