Čo je číselný rad
Číselný rad je formálny nekonečný súčet členov postupnosti: ∑n=1∞ aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … Číslo aₙ je n-tý člen radu.
Nekonečný súčet sami osebe „spočítať" nevieme — definujeme ho ako limitu konečných súčtov. Čiastočný súčet sₙ je súčet prvých n členov: sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ = ∑k=1n aₖ. Postupnosť (sₙ) nazývame postupnosť čiastočných súčtov.
Člen radu
Jednotlivý sčítanec. Napríklad pri ∑ 1/n je a₁ = 1, a₂ = ½, a₃ = ⅓.
Čiastočný súčet
Súčet prvých n členov — vždy konečné číslo. s₃ = a₁ + a₂ + a₃.
Súčet radu
s = limn→∞ sₙ. Ak limita existuje (konečná), je to súčet radu.
Rad konverguje, ak postupnosť čiastočných súčtov (sₙ) má konečnú limitu s — tú nazývame súčtom radu. Ak limita neexistuje alebo je nekonečná, rad diverguje. Konvergencia radu je teda otázka o limite postupnosti (sₙ), nie členov (aₙ).
Vyber správnu odpoveď.
Geometrický a harmonický rad
Geometrický rad ∑n=0∞ a·qⁿ = a + aq + aq² + … má kvocient q. Je to najdôležitejší rad, ktorý vieme presne sčítať.
Kedy konverguje
Geometrický rad konverguje práve vtedy, keď |q| < 1. Vtedy má súčet ∑n=0∞ aqⁿ = a/(1−q).
Kedy diverguje
Ak |q| ≥ 1, rad diverguje — členy neklesajú k nule, čiastočné súčty sa neustália.
∑n=0∞ (½)ⁿ = 1/(1−½) = 2 a ∑n=1∞ (½)ⁿ = 1 (rovnaký rad bez člena pre n = 0, ktorý je 1, teda 2 − 1 = 1).
Odvodíme vzorec a/(1−q) a dosadíme. Klikaj.
Harmonický rad ∑n=1∞ 1/n = 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … diverguje, hoci jeho členy klesajú k nule. Čiastočné súčty rastú nad všetky medze (síce veľmi pomaly, ako ln n). Je to varovanie: samotné aₙ → 0 na konvergenciu nestačí.
Vyber správnu odpoveď.
Nutná podmienka konvergencie
Ak rad ∑ aₙ konverguje, potom nutne aₙ → 0. Inými slovami: členy konvergentného radu musia klesať k nule.
Prečo? Ak rad konverguje k súčtu s, tak sₙ → s aj sn−1 → s. Lenže aₙ = sₙ − sn−1, takže aₙ → s − s = 0. Hotovo.
Najužitočnejšia je obmena: ak aₙ ↛ 0 (limita členov nie je nula alebo neexistuje), rad diverguje. Napr. ∑ n/(n+1) diverguje, lebo aₙ → 1 ≠ 0.
Opačná implikácia neplatí. Z aₙ → 0 nevyplýva konvergencia. Protipríklad: harmonický rad ∑ 1/n — jeho členy 1/n → 0, a predsa diverguje. Nutná podmienka teda len vylučuje konvergenciu; nepotvrdzuje ju.
Vyber správnu odpoveď.
Kritériá konvergencie
Pre rady s nezápornými členmi máme sadu kritérií. Každé odpovedá na otázku „konverguje?" porovnaním alebo limitou. Vyber to, ktoré sedí na tvar členu.
Porovnávacie
Ak 0 ≤ aₙ ≤ bₙ a ∑ bₙ konverguje, konverguje aj ∑ aₙ. Opačne: ak ∑ aₙ diverguje a aₙ ≤ bₙ, diverguje aj ∑ bₙ. Porovnávame s radmi, ktoré poznáme (geometrický, ∑ 1/nᵖ).
Integrálne
Ak je f kladná, klesajúca a aₙ = f(n), tak ∑ aₙ konverguje práve vtedy, keď konverguje integrál ∫1∞ f(x) dx. Odtiaľ: ∑ 1/nᵖ konverguje pre p > 1.
Na prednej strane je kritérium, na zadnej jeho záver. Klikni.
Pre ∑ 1/n! počítame podiel aₙ₊₁/aₙ = n!/(n+1)! = 1/(n+1) → 0 < 1, takže rad konverguje (a jeho súčet je e − 1, resp. e ak začneme od n = 0). Podielové a odmocninové kritérium sú silné pri faktoriáloch a mocninách; pri ∑ 1/nᵖ však zlyhajú (limita = 1) a treba integrálne alebo porovnávacie.
Vyber správnu odpoveď.
Absolútna konvergencia a Leibniz
Keď má rad aj záporné členy, rozlišujeme dva druhy konvergencie podľa toho, čo robí rad absolútnych hodnôt ∑ |aₙ|.
Absolútna konvergencia
Rad ∑ aₙ konverguje absolútne, ak konverguje ∑ |aₙ|. Absolútna konvergencia je silnejšia: ∑ |aₙ| konverguje ⇒ ∑ aₙ konverguje.
Neabsolútna (podmienená)
Rad konverguje neabsolútne, ak ∑ aₙ konverguje, ale ∑ |aₙ| diverguje. Klasika: ∑ (−1)ⁿ⁺¹/n.
Alternujúci rad ∑ (−1)ⁿ⁺¹ bₙ s bₙ > 0 konverguje, ak (bₙ) je klesajúca a bₙ → 0. Príklad: alternujúci harmonický rad ∑ (−1)ⁿ⁺¹/n = 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … konverguje (k ln 2), hoci ∑ 1/n diverguje — je to teda neabsolútna konvergencia.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od pojmu radu cez geometrický rad a kritériá až po absolútnu konvergenciu.
Otestuj sa cez celú tému.