Čo je postupnosť
Postupnosť reálnych čísel je funkcia a : ℕ → ℝ. Každému prirodzenému číslu n priradí jedno reálne číslo an — jej n-tý člen. Celú postupnosť značíme (an)n=1∞, skrátene (an).
n-tý člen
Hodnota postupnosti pri indexe n. Napr. pre an = 1/n je a₁ = 1, a₂ = ½, a₃ = ⅓, …
Explicitný vzorec
n-tý člen vyjadríme priamo z n: an = 2n − 1 dáva 1, 3, 5, 7, … Stačí dosadiť.
Rekurentný vzorec
Člen z predchádzajúcich: a₁ = 1, an+1 = an + 2. Rovnaká postupnosť 1, 3, 5, 7, …
Členy číslujeme od n = 1 (niekedy od 0). Pozor — (an) je celá postupnosť, kým an je jediné číslo, jej člen. Postupnosť je nekonečná: členov je nekonečne veľa.
Explicitný vzorec dá člen okamžite (dosadíš n). Rekurentný potrebuje poznať predchádzajúce členy — napr. Fibonacci an+2 = an+1 + an.
Vyber správnu odpoveď.
Vlastnosti postupností
Dve kľúčové vlastnosti: ohraničenosť (či členy „nevybehnú" za nejakú medzu) a monotónnosť (či stále rastú alebo klesajú).
Ohraničenosť
Zhora: existuje H tak, že an ≤ H pre všetky n. Zdola: existuje D s an ≥ D. Ohraničená = zhora aj zdola.
Monotónnosť
Rastúca: an+1 > an. Klesajúca: an+1 < an. Neklesajúca: an+1 ≥ an; nerastúca: an+1 ≤ an.
Sama ohraničenosť nestačí — napr. an = (−1)n je ohraničená (hodnoty ±1), no nemá limitu, lebo stále osciluje. Treba ešte monotónnosť (sekcia 05).
Klikni a over si, ktorá vlastnosť platí.
Vyber správne tvrdenie.
Limita postupnosti
Intuitívne: lim an = L znamená, že členy postupnosti sa pre veľké n ľubovoľne tesne približujú k číslu L. Presne to zachytí ε–N definícia.
ε–N definícia
lim an = L práve vtedy, keď ku každému ε > 0 existuje index N tak, že pre všetky n > N platí |an − L| < ε.
Konvergentná vs. divergentná
Konvergentná = má (konečnú) limitu L. Divergentná = nemá konečnú limitu (buď ide do ±∞, alebo osciluje).
Okolo L narysuj pás šírky ε (od L−ε po L+ε). Limita je L, ak od istého N ležia už všetky ďalšie členy vnútri tohto pásu. Čím menšie ε, tým väčšie N stačí nájsť.
Postupnosť môže mať najviac jednu limitu. Keby mala dve rôzne L₁ ≠ L₂, pre malé ε by sa pásy okolo nich neprekrývali — a členy nemôžu byť súčasne v oboch. Preto píšeme „tú limitu".
Vyber správnu odpoveď.
Počítanie limít
Limity zriedka počítame z definície — používame vety o limitách a pár základných výsledkov.
Vety o limitách (ak lim an = A, lim bn = B)
lim (an + bn) = A + B
lim (an · bn) = A · B
lim (an / bn) = A / B (ak B ≠ 0)
lim (c · an) = c · A
Základné limity
lim 1/n = 0
lim 1/nk = 0 pre k > 0
lim c = c (konštanta)
Geometrická lim qn
|q| < 1 ⇒ lim qn = 0
q = 1 ⇒ lim qn = 1
|q| > 1 alebo q ≤ −1 ⇒ diverguje
Pri podiele polynómov vznikne „∞/∞" — to nie je číslo. Trik: vyděl čitateľa aj menovateľa najvyššou mocninou n, ktorá sa v menovateli vyskytuje. Zlomky typu 1/n potom idú k 0.
Typ ∞/∞. Vydelíme najvyššou mocninou n². Klikaj.
Vyber správny výsledok.
Dôležité limity a číslo e
Jedna konkrétna postupnosť dala matematike vzácnu konštantu — Eulerovo číslo e. A jedna veta zaručí, kedy limita vôbec existuje.
Číslo e
lim (1 + 1/n)n = e ≈ 2,718
Postupnosť (1 + 1/n)n je rastúca a ohraničená zhora, preto konverguje. Jej limitu nazývame e.
Veta o monotónnej postupnosti
Každá monotónna a ohraničená postupnosť je konvergentná (má konečnú limitu). To je práve dôvod, prečo limita (1+1/n)ⁿ existuje.
Dá sa dokázať, že postupnosť (1 + 1/n)n rastie (a₁ = 2, a₂ = 2,25, a₃ ≈ 2,37, …) a zároveň je ohraničená zhora (vždy < 3). Podľa vety o limite monotónnej postupnosti teda musí mať limitu — a tou je e.
Z lim (1 + 1/n)n = e ihneď: lim (1 + 1/n)2n = e² (umocníme na druhú) a všeobecne lim (1 + a/n)n = ea.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od pojmu postupnosti po číslo e.
Otestuj sa cez celé postupnosti a limity.