Limita funkcie
Zápis limx→a f(x) = L znamená: keď sa x blíži k bodu a (ale nerovná sa mu), hodnoty f(x) sa neobmedzene blížia k číslu L. Dôležité: na hodnote f(a) samotnej nezáleží — funkcia tam nemusí byť ani definovaná.
Intuitívne sledujeme, „kam funkcia smeruje", nie kde naozaj je. Pozri graf: blízko bodu a sa krivka tlačí k výške L, hoci v samotnom a môže mať dieru.
ε–δ definícia (presne)
Intuíciu „blíži sa" spresníme cez vzdialenosti. Hovoríme limx→a f(x) = L, ak ku každému ε > 0 existuje δ > 0 také, že pre všetky x platí:
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
Slovami: keď je x dosť blízko k a (do vzdialenosti δ), je f(x) blízko k L (do vzdialenosti ε). Číslo δ zvyčajne závisí od ε.
Jednostranné limity
Niekedy sa k bodu blížime len z jednej strany. Limita zľava limx→a⁻ f(x) berie len x < a; limita sprava limx→a⁺ f(x) len x > a.
Zľava a sprava
limx→a⁻ f a limx→a⁺ f. Sú to dve samostatné hodnoty.
Existencia limity
Obojstranná limita existuje práve vtedy, keď obe jednostranné existujú a sú si rovné.
Ak limx→a⁻ f ≠ limx→a⁺ f, obojstranná limita neexistuje. Príklad: funkcia signum v bode 0 skáče z −1 na 1.
Vyber správnu odpoveď.
Počítanie limít
Limity sa správajú „rozumne": limita súčtu je súčet limít, limita súčinu je súčin limít — a pri spojitých funkciách stačí jednoducho dosadiť.
Vety o limitách
lim(f ± g) = lim f ± lim g, lim(f · g) = lim f · lim g, a lim(f/g) = lim f / lim g (ak menovateľ ≠ 0).
Dosadenie
Pre polynóm, či inú spojitú funkciu platí limx→a f(x) = f(a). Napríklad limx→3 (x² − 1) = 8.
Keď priame dosadenie dá 0/0, výsledok ešte nepoznáme. Výraz treba upraviť — najčastejšie rozložiť na súčin a krátiť spoločný činiteľ, ktorý spôsoboval nulu.
Počítame limx→1 (x² − 1)/(x − 1). Priame dosadenie dá 0/0. Klikaj.
Vyber správnu odpoveď.
Limity v nekonečne a nevlastné limity
Zaujíma nás aj správanie funkcie „na okrajoch": čo robí f(x), keď x → ∞ alebo x → −∞ (limita v nekonečne), a kedy hodnoty samé rastú nad všetky medze, čiže f(x) → ∞ (nevlastná limita).
Racionálne funkcie v ∞
Delíme čitateľa aj menovateľa najvyššou mocninou x. Členy ako 1/x, 1/x² idú k 0. Rozhodujú stupne polynómov.
Asymptoty
Ak limx→±∞ f = L, priamka y = L je vodorovná asymptota. Ak limx→a f = ±∞, priamka x = a je zvislá asymptota.
Pre P(x)/Q(x) v nekonečne: ak deg P < deg Q, limita je 0; ak deg P = deg Q, limita je podiel vedúcich koeficientov; ak deg P > deg Q, limita je ±∞.
Pri bode 0 platí limx→0 (sin x)/x = 1. Priame dosadenie dá 0/0, no pomocou tejto vety dostaneme presne 1. Je základom derivácie funkcie sínus.
Vyber správnu odpoveď.
Spojitosť funkcie
Funkcia f je spojitá v bode a, ak limita v tomto bode existuje a rovná sa funkčnej hodnote: limx→a f(x) = f(a). Názorne — graf v bode a nemá dieru, skok ani zvislú asymptotu.
Tri podmienky
Existuje f(a), existuje limx→a f, a obe sa rovnajú. Stačí porušiť jednu a spojitosť padá.
Na intervale
Spojitá na intervale = spojitá v každom jeho bode. Polynómy, sínus a kosínus sú spojité na celom ℝ.
Pozor na podiel
f(x) = 1/x nie je spojitá v 0 — tam nie je definovaná a má zvislú asymptotu.
Funkcia f(x) = |x| je spojitá všade, no v bode 0 nemá deriváciu (graf tam má ostrý „hrot"). Spojitosť je teda slabšia podmienka než existencia derivácie.
Typy nespojitostí
Klikni a over si.
Vyber správnu odpoveď.
Vety o spojitých funkciách na uzavretom intervale
Spojitá funkcia na uzavretom a ohraničenom intervale [a, b] sa správa veľmi pekne — dve klasické vety to robia presným.
Weierstrassova veta
Funkcia spojitá na [a, b] na tomto intervale nadobúda svoje maximum aj minimum. Existujú teda body, kde je hodnota najväčšia a najmenšia — funkcia je tým pádom aj ohraničená.
Medzihodnotová (Bolzanova) veta
Ak je f spojitá na [a, b] a f(a), f(b) majú opačné znamienka, potom má funkcia v intervale (a, b) aspoň jeden koreň (bod, kde f = 0).
Zmena znamienka spojitej funkcie zaručuje koreň. Príklad: f(x) = x³ + x − 1 je spojitá, pričom f(0) = −1 < 0 a f(1) = 1 > 0. Podľa Bolzanovej vety má f koreň v intervale (0, 1).
Bez spojitosti alebo na otvorenom intervale vety zlyhávajú. Napr. f(x) = 1/x na (0, 1] nie je ohraničená — interval nie je uzavretý a funkcia nie je spojitá v 0.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od ε–δ definície a krátenia 0/0 cez nekonečno až po Weierstrassovu a Bolzanovu vetu.
Otestuj sa cez celú tému.