Derivácia ako limita
Derivácia funkcie f v bode x je limita podielu prírastkov — ak existuje (a je vlastná), hovoríme, že f je v bode x diferencovateľná.
Definícia
Cez prírastok argumentu: f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h. Ekvivalentne limt→x [f(t) − f(x)] / (t − x).
Geometrický význam
Podiel prírastkov je smernica sečnice. Keď h → 0, sečnica prejde na dotyčnicu, takže f′(x) je jej smernica.
Diferenciál
Lineárna časť prírastku: df = f′(x)·dx. Aproximuje Δf pre malé dx.
Sečnica → dotyčnica
Vyšší rád a notácia
Druhá derivácia f″ = (f′)′, vo všeobecnosti f(n). Leibniz píše df/dx, Lagrange f′. Jednostranné limity dávajú jednostranné derivácie f′+, f′−.
Ak je f diferencovateľná v bode x₀, je v ňom aj spojitá. Dôkaz: f(x) − f(x₀) = [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀) · (x−x₀) → f′(x₀)·0 = 0, teda f(x) → f(x₀).
Spojitosť nezaručuje diferencovateľnosť. Klasický príklad: f(x) = |x| je spojitá v 0, ale f′+(0) = 1 ≠ −1 = f′−(0) — derivácia v 0 neexistuje.
Vyber správnu odpoveď.
Pravidlá a elementárne derivácie
Štyri pravidlá — súčet, súčin, podiel a reťazové pravidlo — spolu s tabuľkou elementárnych derivácií ti dajú deriváciu ľubovoľnej „rozumnej" funkcie.
Pravidlá derivovania
[f ± g]′ = f′ ± g′
[c · f]′ = c · f′
[f · g]′ = f′g + f g′
[f / g]′ = (f′g − f g′) / g²
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x) (reťazové)
| funkcia | derivácia | funkcia | derivácia |
|---|---|---|---|
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ | eˣ | eˣ |
| ln x | 1 / x | aˣ | aˣ · ln a |
| sin x | cos x | cos x | − sin x |
Pri zloženej funkcii zabudnúť na vnútornú deriváciu g′(x). Napr. [sin(x²)]′ = cos(x²) · 2x, nie len cos(x²).
Klikni a over si výsledok.
Použi správne pravidlo.
Vety o strednej hodnote
Tieto vety spájajú lokálnu informáciu (deriváciu v jednom bode) s globálnym správaním funkcie na intervale. Sú nástrojom väčšiny dôkazov v diferenciálnom počte.
Rolleova veta
Nech f je spojitá na [a, b], diferencovateľná na (a, b) a f(a) = f(b). Potom ∃ c ∈ (a, b): f′(c) = 0.
Lagrangeova veta (o prírastku)
Nech f je spojitá na [a, b] a diferencovateľná na (a, b). Potom ∃ c ∈ (a, b): f′(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a).
Geometria Lagrangeovej vety
V bode c je dotyčnica rovnobežná so sečnicou cez krajné body. Rolle je špeciálny prípad pre f(a) = f(b) (vodorovná sečnica).
Ak f′(x) = 0 pre všetky x z intervalu, je f na ňom konštantná. Pre ľubovoľné x₁ < x₂ dá Lagrange f(x₂) − f(x₁) = f′(c)(x₂ − x₁) = 0. Odtiaľ aj: ak f′ = g′, líšia sa f, g len o konštantu.
Nájdime bod c, ktorý veta zaručuje. Klikaj.
Vyber správne tvrdenie.
L’Hospitalovo pravidlo
Pri neurčitých výrazoch typu 0/0 alebo ∞/∞ možno limitu podielu nahradiť limitou podielu derivácií — ak tá druhá existuje.
Znenie
Ak lim f/g dáva 0/0 alebo ±∞/±∞ a existuje lim f′/g′, potom lim f/g = lim f′/g′.
Podmienky použitia
Výraz musí byť skutočne neurčitý typu 0/0 či ∞/∞, funkcie diferencovateľné v okolí bodu a g′ ≠ 0. Iné typy (0·∞, ∞−∞, 1∞) treba najprv upraviť na zlomok.
Aplikovať pravidlo na výraz, ktorý nie je neurčitý (napr. 2/x v x → 0), alebo derivovať zlomok ako celok cez podielové pravidlo. Derivuj čitateľa a menovateľa zvlášť.
Príklad 1
limx→0 (sin x)/x
Typ 0/0. (sin x)′ = cos x, (x)′ = 1, teda lim cos x / 1 = cos 0 = 1.
Príklad 2
limx→0 (eˣ − 1)/x
Typ 0/0. (eˣ − 1)′ = eˣ, (x)′ = 1, teda lim eˣ / 1 = e⁰ = 1.
Vyber správnu hodnotu alebo postup.
Taylorov polynóm a rad
Taylorov polynóm aproximuje hladkú funkciu v okolí bodu a polynómom, ktorý sa s ňou zhoduje v hodnote aj prvých n deriváciách.
Taylorov polynóm okolo a
Tn(x) = ∑k=0n f(k)(a)/k! · (x − a)k
So zvyškom Rn(x) = f(n+1)(ξ)/(n+1)! · (x−a)n+1 (Lagrangeov tvar). Voľba a = 0 dáva Maclaurinov rad.
Lineárna aproximácia
Polynóm 1. rádu f(a) + f′(a)(x − a) je práve dotyčnica — najlepšia lineárna aproximácia v bode a.
eˣ = ∑n=0∞ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
Prečo eˣ = ∑ xⁿ/n!
Pre f(x) = eˣ je f(k)(x) = eˣ pre každé k, teda f(k)(0) = 1. Dosadením do Maclaurinovho vzorca: ∑ f(k)(0)/k! · xᵏ = ∑ xᵏ/k!.
Vyber správny rozvoj alebo koeficient.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celý diferenciálny počet — od definície derivácie po Taylorov rad.
Otestuj sa cez celú tému.