Číselné obory
Matematickú analýzu staviame na číslach. Postupne rozširujeme: od počítania predmetov až po spojitú reálnu os a komplexnú rovinu.
Prirodzené
ℕ = {1, 2, 3, …}. S nulou píšeme ℕ₀ = ℕ ∪ {0}. Slúžia na počítanie.
Celé
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. Doplnené záporné čísla a nula — uzavreté na odčítanie.
Racionálne
ℚ = { k/n : k ∈ ℤ, n ∈ ℕ }. Zlomky — uzavreté aj na delenie nenulovým.
Reálne
Všetky desatinné rozvoje (aj nekonečné neperiodické). Vypĺňajú celú „číselnú os" bez dier. Iracionálne čísla sú práve ℝ ∖ ℚ (napr. √2, π).
Komplexné
ℂ = { a + b·i : a, b ∈ ℝ, i² = −1 }. Pridáme imaginárnu jednotku — vznikne rovina, v ktorej má každý polynóm koreň.
Tieto obory tvoria reťazec inklúzií — každý ďalší obsahuje ten predchádzajúci:
Reálnu os si predstav ako priamku, na ktorej leží každé reálne číslo presne raz:
Číslo je iracionálne, ak je reálne, ale nie racionálne — teda leží v ℝ ∖ ℚ. Jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický. Racionálne čísla majú vždy konečný alebo periodický rozvoj.
Vyber správnu odpoveď.
Mohutnosť a spočetnosť
Ako porovnať „veľkosť" dvoch nekonečných množín? Nepočítame prvky — hľadáme zobrazenia medzi nimi.
Rovnaká mohutnosť
|A| = |B| práve vtedy, keď existuje bijekcia A → B (vzájomne jednoznačné priradenie).
Menšia–rovná mohutnosť
|A| ≤ |B| práve vtedy, keď existuje prostá (injektívna) funkcia A → B.
Ak |A| ≤ |B| aj |B| ≤ |A|, potom |A| = |B|. Stačí teda nájsť dve injekcie (každým smerom jednu) a bijekcia už zaručene existuje — nemusíme ju zostrojiť.
Najmenšie nekonečno má množina ℕ. Množinu nazveme spočetnou, ak |A| ≤ |ℕ| — jej prvky vieme „očíslovať" do (konečnej alebo nekonečnej) postupnosti.
ℤ je spočetná
Usporiadame ich do postupnosti: 0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, … — každé celé číslo sa raz objaví.
ℚ je spočetná
Zlomky k/n vyskladáme do mriežky a prejdeme ich diagonálami (Cantorovo cik-cak). Aj racionálnych čísel je „len" |ℕ|.
Klikni a over si definíciu.
Vyber správnu odpoveď.
Nespočetnosť ℝ
ℤ aj ℚ sú spočetné — človek by čakal, že rovnako aj ℝ. Nie! Reálnych čísel je „viac". Dokázal to Georg Cantor svojou diagonálnou metódou.
Ukážeme, že už interval (0, 1) nie je spočetný. Dôkaz ide sporom: predpokladáme opak a dostaneme nezmysel.
Keby sme vedeli všetky reálne čísla z (0,1) vypísať do zoznamu a₁, a₂, a₃, …, zostrojíme číslo b, ktoré sa od každého aₙ líši — a teda v zozname chýba.
a₂ = 0.271828…
a₃ = 0.412356…
a₄ = 0.999999…
⋮
Z podčiarknutej diagonály vyrobíme číslo b, ktorého n-tá cifra je iná než n-tá cifra čísla aₙ.
Klikaj a sleduj, ako vznikne spor.
Interval (0,1) je nespočetný, a keďže (0,1) ⊆ ℝ, je nespočetná aj celá ℝ. Platí teda |ℕ| < |ℝ| — existujú rôzne „veľkosti" nekonečna.
Vyber správnu odpoveď.
Suprémum a infimum
Maximum a minimum nemusia vždy existovať — ale „takmer" maximum áno. Tým je suprémum: najmenšia horná mez.
Horná mez (závora)
Číslo h je horná mez množiny A, ak x ≤ h pre každé x ∈ A. Ak nejaká existuje, množina je zhora ohraničená.
Dolná mez (závora)
Číslo d je dolná mez, ak d ≤ x pre každé x ∈ A. Vtedy je množina zdola ohraničená.
Suprémum sup A
Najmenšia horná mez. Je to najlepší (najtesnejší) možný „strop" množiny.
Infimum inf A
Najväčšia dolná mez. Najlepší možný „spodok" množiny.
Ak sup A sám patrí do A, je to maximum. Ak nepatrí, maximum neexistuje, ale suprémum aj tak existuje. Vždy platí: ak má množina maximum, potom max A = sup A.
Dva príklady na rozdiel
A = (0, 1)
sup A = 1, ale 1 ∉ A — maximum neexistuje.
inf A = 0, a 0 ∉ A — minimum tiež neexistuje.
A = { 1/n : n ∈ ℕ }
= { 1, ½, ⅓, … }. sup A = max A = 1 (patrí do A).
inf A = 0, ale 0 ∉ A — minimum neexistuje.
Prázdna množina nemá suprémum ani infimum. Zhora neohraničená množina (napr. celé ℕ) nemá suprémum.
Pozorne rozlišuj sup/inf od max/min.
Úplnosť ℝ, absolútna hodnota a metrika
Práve suprémum odlišuje ℝ od ℚ. Reálne čísla sú úplné — nemajú „diery". Racionálne ich majú.
Každá neprázdna a zhora ohraničená podmnožina ℝ má suprémum (v ℝ). Toto je definujúca axióma reálnych čísel — vďaka nej je ℝ úplné.
V ℚ to neplatí. Uvažuj množinu M = { q ∈ ℚ : q² < 2 }. Je zhora ohraničená (napr. číslom 2), ale jej najmenšou hornou mezou by bolo √2 — a to nie je racionálne. V ℚ teda suprémum nemá: presne tam, kde malo byť, je „diera".
Dôkaz sporom. Klikaj a sleduj postup.
Vzdialenosť: absolútna hodnota a metrika
Analýza je o blízkosti a limitách — potrebujeme merať vzdialenosť. Na reálnej osi ju dáva absolútna hodnota.
Absolútna hodnota
|a| = a ak a ≥ 0, inak |a| = −a. Je to vzdialenosť čísla od nuly.
Vzdialenosť
|x − y| je vzdialenosť bodov x a y na osi.
Trojuholníková nerovnosť
|x + y| ≤ |x| + |y|. Cesta priamo nie je dlhšia než cez tretí bod.
Túto myšlienku zovšeobecníme: metrický priestor (M, d) je množina M s funkciou vzdialenosti d, ktorá spĺňa tri axiómy:
| Axióma | Podmienka |
|---|---|
| (i) nezápornosť a totožnosť | d(x,y) ≥ 0 a d(x,y) = 0 ⇔ x = y |
| (ii) symetria | d(x,y) = d(y,x) |
| (iii) trojuholníková nerovnosť | d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) |
Na ľubovoľnej množine funguje d(x,y) = 0 ak x = y, inak d(x,y) = 1. Spĺňa všetky tri axiómy — je to platná metrika. „Buď si v tom istom bode, alebo si na vzdialenosť 1."
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od číselných oborov cez mohutnosť a suprémum až po metriku.
Otestuj sa cez celú tému.