Logaritmus
Logaritmus čísla x pri základe a je exponent, na ktorý treba umocniť základ a, aby sme dostali x. Logaritmus teda „vráti“ exponent späť.
loga x = y ⟺ ay = x pre a > 0, a ≠ 1, x > 0. Základ nesmie byť 1 ani záporný a argument x musí byť kladný.
Dva základy majú vlastné meno
Dekadický logaritmus
Základ 10 nepíšeme: log x = log10 x. Napr. log 1000 = 3.
Prirodzený logaritmus
Základ e ≈ 2,718: ln x = loge x. Číslo e je „prirodzená“ konštanta rastu.
Z definície hneď vyplývajú dve „rušiace“ identity
aloga x = x
Umocnenie základu na jeho vlastný logaritmus argument obnoví (pre x > 0).
loga(ax) = x
Logaritmus mocniny so základom a vyberie presne exponent.
loga x existuje len pre x > 0. Výrazy ako log 0 či log(−5) nie sú definované — logaritmus zápornej ani nulovej hodnoty neexistuje.
Vyber základ a a hľadanú hodnotu y. Ukáže sa, aké x tomu zodpovedá — presne podľa definície loga x = y ⟺ ay = x.
Logaritmická funkcia a graf
Funkcia y = loga x je inverzná k exponenciále y = ax — ich grafy sú súmerné podľa priamky y = x. Posúvaj základ a sleduj, čo sa s grafom deje.
Vyber základ a. Zapni si aj exponenciálu ax a os symetrie y = x a uvidíš zrkadlenie. Zvýraznené sú význačné body [1, 0] a [a, 1].
Čo si o grafe zapamätať
Definičný obor
D(f) = (0, ∞) — len kladné x.
Obor hodnôt
H(f) = ℝ — logaritmus nadobúda všetky reálne hodnoty.
Asymptota
Zvislá asymptota je os y (priamka x = 0) — graf sa k nej blíži, no nikdy ju nepretne.
Funkcia je rastúca na celom (0, ∞). Prechádza bodmi [1, 0] a [a, 1].
Funkcia je klesajúca. Stále platí loga 1 = 0, takže prechádza [1, 0].
Na celom (0, ∞) logaritmická funkcia nie je ohraničená (zhora ani zdola). Na uzavretom intervale ⟨c, d⟩ ⊂ (0, ∞) už ohraničená je — pre rastúcu funkciu je najmenšia hodnota loga c a najväčšia loga d.
Logaritmická funkcia je prostá (rôznym x priradí rôzne y) — práve preto má inverznú funkciu, ktorou je exponenciála (téma 10). Z prostosti vychádza aj kľúčový krok pri rovniciach: loga f = loga g ⟺ f = g.
Vlastnosti logaritmov
Tieto pravidlá premieňajú súčin na súčet a mocninu na násobok — sú kľúčom k úprave výrazov aj riešeniu rovníc.
| Pravidlo | Zápis (a > 0, a ≠ 1, r, s > 0) |
|---|---|
| Logaritmus súčinu | loga(r · s) = loga r + loga s |
| Logaritmus podielu | loga(r / s) = loga r − loga s |
| Logaritmus mocniny | loga(rs) = s · loga r |
| Logaritmus základu | loga a = 1 |
| Logaritmus jednotky | loga 1 = 0 |
| Zmena základu | loga x = logb x / logb a |
Pravidlá logaritmov sú len preklad zákonov mocnín. Z am · an = am+n dostaneme po zlogaritmovaní pravidlo súčinu: ak r = am a s = an, potom m = loga r, n = loga s a r · s = am+n, teda loga(r·s) = m + n = loga r + loga s. Rovnako (am)s = ams dáva pravidlo mocniny.
log(x + y) ≠ log x + log y — pravidlo platí pre súčin, nie pre súčet! Rovnako log(x − y) ≠ log x − log y.
Vyber výraz a klikaj — krok po kroku ho rozložíme pomocou pravidiel súčinu, podielu a mocniny.
Logaritmus pri ľubovoľnom základe vypočítaš cez prirodzený (alebo dekadický) logaritmus: loga b = ln b / ln a.
Definičný obor logaritmického výrazu
Pri každom logaritme platí jedno zlaté pravidlo: argument musí byť kladný. Hľadanie definičného oboru je preto riešenie nerovnice „argument > 0“.
Funkcia f(x) = loga g(x) je definovaná práve tam, kde g(x) > 0. Ak je logaritmov viac, musia platiť všetky podmienky naraz (prienik).
Vyber funkciu a klikaj. Vyriešime nerovnicu pre argument a výsledok vyfarbíme na osi.
Pri kvadratickom argumente, napr. log(x2 − 4), riešiš kvadratickú nerovnicu x2 − 4 > 0; pri lomenom argumente log((x−1)/(x+2)) nerovnicu s podielom. Definičný obor je presne to, čo musíš určiť pred riešením každej logaritmickej rovnice.
Logaritmické rovnice
Najprv podmienky (argument > 0), potom úprava na rovnaký tvar, na konci skúška — či riešenie podmienky spĺňa.
Rovnaký základ na oboch stranách
loga f = loga g ⟺ f = g (pre f, g > 0). Logaritmy „odpadnú“.
Logaritmus rovný číslu
loga f = c ⟺ f = ac. Číslo prepíšeme cez definíciu.
Súčet/rozdiel logaritmov zluč do jedného: log x + log y = log(xy). Číslo prepíš ako logaritmus: 3 = log2 8. Ak sa log x opakuje (napr. aj na druhú), použi substitúciu t = log x.
Príklad A · logaritmus rovný číslu
Vyrieš log2(x − 1) = 3.
Príklad B · súčet logaritmov
Vyrieš log x + log(x − 3) = 1 (dekadický).
Príklad C · substitúcia
Vyrieš log2 x − 3·log x + 2 = 0 (dekadický; log2 x = (log x)2).
Úpravy môžu pridať „cudzie“ riešenie, ktoré nespĺňa podmienky (napr. dá záporný argument). Vždy over, či kandidát leží v definičnom obore — inak ho vylúč.
Exponenciálne rovnice cez logaritmus
Keď je neznáma v exponente a nedá sa „dorovnať“ rovnaký základ, pomôže logaritmus. Toto je hlavný most späť k exponenciálnej funkcii.
ax = b ⟺ x = loga b (pre a > 0, a ≠ 1, b > 0). Cez zmenu základu x = ln b / ln a — práve toto vyčíslíš na kalkulačke.
Príklad A · jednoduché odlogaritmovanie
Vyrieš 2x = 5.
Príklad B · logaritmovanie oboch strán
Vyrieš 3x+1 = 7x.
Ak vieš oba základy zjednotiť (napr. 4x = 8 → 22x = 23), urob to a porovnaj exponenty. Ak to nejde (rôzne základy, ktoré sa nedajú zjednotiť), zlogaritmuj obe strany.
Logaritmické nerovnice
Riešia sa ako rovnice, ale treba dve veci: podmienky (argument > 0) a správny smer znaku podľa veľkosti základu.
Pre a > 1 (rastúca) znak zachováš: loga f > loga g ⟺ f > g. Pre 0 < a < 1 (klesajúca) znak otočíš: loga f > loga g ⟺ f < g.
Prepínaj základ a porovnaj, ako z tej istej nerovnice vyjde iné riešenie. Výsledok vyfarbíme na osi.
Najprv podmienky (definičný obor), potom úprava na rovnaký tvar, nakoniec smer znaku podľa veľkosti základu. Výsledné riešenie je prienik s definičným oborom.
Aplikácie a úroky
Logaritmus je nástroj na riešenie otázky „za aký čas?“ pri exponenciálnom raste či poklese — od úspor cez polčas rozpadu až po logaritmické škály okolo nás.
Zložené úročenie
Po n rokoch: Kn = K0·(1 + p)n. Čas zistíš logaritmom.
Polčas rozpadu
Množstvo klesá ako m = m0·(1/2)t/T; čas t dopočítaš logaritmom.
Logaritmické škály
pH, Richterova škála a decibely sú logaritmické — krok o 1 znamená 10× zmenu.
Zadaj vstupy a vypočítame čas. Logaritmus „vytiahne“ neznámu z exponentu.
Stav vkladu po jednotlivých rokoch K0, K0(1+p), K0(1+p)2, … je geometrická postupnosť s kvocientom q = 1 + p. Otázku „za koľko rokov dosiahnem sumu?“ premieňa logaritmus na obyčajný výpočet exponentu.
Riešené príklady
Typy úloh, ktoré sa na maturite objavujú najčastejšie. Klikaj a odkrývaj riešenie krok po kroku — výsledok je zvýraznený.
1 · Výpočet logaritmu
Vypočítaj log3 81.
2 · Úprava výrazu pomocou vlastností
Zjednoduš log 2 + log 50 (dekadický).
3 · Logaritmická rovnica
Vyrieš log2(x + 3) = 5.
4 · Definičný obor
Urči definičný obor funkcie f(x) = log(x2 − 4).
5 · Logaritmická nerovnica
Vyrieš log1/2 x > 1.
6 · Slovná úloha (úroky)
Vklad 1000 € sa úročí 5 % ročne. Za koľko celých rokov presiahne 1200 €?
Príklady 1–3 sú „mechanika“ (rýchlo), príklady 4–6 ukazujú definičný obor, otočenie znaku a slovnú úlohu — presne to, čo často chýba a na maturite prekvapí.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪