Vektor v priestore
V priestore pribúda tretia súradnica — princíp ostáva rovnaký ako v rovine.
Vektor v priestore
AB = B − A = (b₁−a₁, b₂−a₂, b₃−a₃).
|AB| = √[(b₁−a₁)² + (b₂−a₂)² + (b₃−a₃)²]
Pozor
Priamka v E₃ má len parametrické vyjadrenie — všeobecný/smernicový/úsekový tvar priamky v priestore neexistuje.
Vypočítaj vektor a veľkosť.
Priamka v priestore
Priamku v priestore „posielame" parametrom t — iný tvar neexistuje.
Priamka
x = a₁ + t·s₁, y = a₂ + t·s₂, z = a₃ + t·s₃, t ∈ ℝ
s = smerový vektor (napr. s = AB).
Urči smerový vektor priamky.
Rovina v priestore
Rovinu zadáme dvomi smermi (parametricky) alebo jednou rovnicou s normálou.
Parametricky
X = A + t·u + s·v
Rovina cez 3 nekolineárne body (u = AB, v = AC).
Všeobecne
ax + by + cz + d = 0
Normála n = (a, b, c) kolmá na rovinu.
Urči normálu a over.
Vektorový súčin a normála
Vektorový súčin dvoch smerov roviny dá priamo jej normálový vektor.
Vektorový súčin
u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)
Výsledok je kolmý na u aj v ⇒ normála roviny.
Over si výpočet u × v.
Rovina cez A[1,0,0], B[0,1,0], C[0,0,1].
Použi vektorový súčin.
Skalárny súčin a uhol
Skalárny súčin je číslo. Prezradí, či sú vektory na seba kolmé, a dovolí vypočítať uhol medzi nimi.
Zo súradníc
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
Výsledok je skalár (číslo), nie vektor.
Geometricky
u · v = |u| · |v| · cos φ
kde φ je uhol medzi vektormi.
Kolmosť
u ⟂ v ⇔ u · v = 0
Najrýchlejší test pravého uhla.
Uhol vektorov
cos φ = (u · v) / (|u| · |v|)
Odtiaľ φ = arccos(…).
Skalárny súčin u · v = číslo. Vektorový súčin u × v = vektor. Sú to dve úplne odlišné operácie.
Zadaj súradnice dvoch vektorov, počíta sa priebežne.
Súčin, kolmosť a uhol.
Vzájomná poloha dvoch priamok
V priestore sú štyri možnosti — oproti rovine pribúdajú mimobežky, ktoré sa nepretínajú a pritom nie sú rovnobežné.
Rovnobežné (rôzne)
Smery sú násobky: s₁ = k·s₂. Nemajú spoločný bod.
Totožné (splývajúce)
Smery sú násobky a majú aspoň jeden spoločný bod ⇒ je to tá istá priamka.
Rôznobežné
Smery nie sú násobky, no majú práve jeden spoločný bod (ležia v jednej rovine).
Mimobežné
Smery nie sú násobky a nemajú spoločný bod (neležia v jednej rovine).
1. Sú smerové vektory násobky? Áno → rovnobežné alebo totožné (rozhodne, či bod jednej leží na druhej). Nie → krok 2.
2. Má sústava parametrických rovníc riešenie? Áno → rôznobežné (existuje priesečník). Nie → mimobežné.
Urči vzťah dvojice priamok.
p: [1,0,0] + t(1,1,0), q: [0,0,1] + r(1,0,1).
Štyri možnosti.
Priamka a rovina · dve roviny
Kľúč je vzťah smerového vektora priamky a normály roviny — pri dvoch rovinách porovnávame dve normály.
Priamka a rovina
Leží v rovine
s · n = 0
a navyše bod priamky spĺňa rovnicu roviny.
Rovnobežná
s · n = 0
ale bod priamky v rovine neleží ⇒ žiadny priesečník.
Pretína rovinu
s · n ≠ 0
⇒ práve jeden priesečník.
Dve roviny
Rovnobežné / totožné
Normály sú násobky (n₁ = k·n₂). Ak sú aj rovnice násobky ⇒ totožné, inak rovnobežné rôzne.
Rôznobežné
Normály nie sú násobky ⇒ pretínajú sa v priamke (priesečnica).
Priesečník priamky a roviny nájdeš tak, že parametrické vyjadrenie priamky dosadíš do rovnice roviny, vyriešiš pre t a dosadíš späť.
p: [1,2,0] + t(1,−1,2), rovina x + y + z − 6 = 0.
Polohy a priesečník.
Uhly priamok a rovín
Uhly počítame cez skalárny súčin. Pozor na absolútnu hodnotu a na to, čo dosadzujeme — smery, alebo normály.
Dve priamky
cos φ = |s₁ · s₂| / (|s₁| · |s₂|)
Dosadzujeme smerové vektory.
Dve roviny
cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)
Dosadzujeme normály.
Priamka a rovina
sin φ = |s · n| / (|s| · |n|)
Pozor — tu je sínus!
1. Absolútna hodnota v čitateli zaručí ostrý uhol (0°–90°).
2. Pri priamke a rovine je vo vzorci sínus, nie kosínus — lebo uhol meriame od roviny, nie od jej normály.
α: x + y = 0, β: x + z = 0.
Priamky, roviny aj priamka–rovina.
Vzdialenosti v priestore
Najčastejšie sa pýtajú na vzdialenosť dvoch bodov a vzdialenosť bodu od roviny. Druhý vzorec sa oplatí vedieť naspamäť.
Dva body
|AB| = √[(b₁−a₁)² + (b₂−a₂)² + (b₃−a₃)²]
Bod M od roviny ax + by + cz + d = 0
v = |a·m₁ + b·m₂ + c·m₃ + d| / √(a² + b² + c²)
pre bod M = [m₁, m₂, m₃].
Vzdialenosť bodu od priamky a vzdialenosť dvoch mimobežiek sa riešia cez kolmý priemet, resp. vektorový súčin. Na maturite je najdôležitejší vzorec pre bod a rovinu.
M[3,1,2], rovina 2x − y + 2z − 1 = 0.
Dva body aj bod–rovina.
Záverečný kvíz
Štrnásť otázok cez celú tému — vektory a skalárny súčin, priamky, roviny, vzájomné polohy, uhly aj vzdialenosti.
Otestuj sa cez celú tému E₃.