Bod a vektor v rovine
Vektor a jeho veľkosť sú stavebné kamene celej analytickej geometrie.
Bod a vektor
Bod X[x₁, x₂]. Vektor AB = B − A = (b₁−a₁, b₂−a₂).
|AB| = √[(b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²]
Čím je priamka určená
Dvomi rôznymi bodmi, alebo bodom a smerovým vektorom u. Ľubovoľný násobok u je tiež smerový vektor.
Operácie s vektormi
u ± v = (u₁±v₁, u₂±v₂)
k·u = (k·u₁, k·u₂)
Súčet, rozdiel a násobok počítame po zložkách.
Stred úsečky AB
S = ( (a₁+b₁)/2 , (a₂+b₂)/2 )
Priemer súradníc krajných bodov.
Vypočítaj vektor a jeho veľkosť.
Skalárny súčin, kolmosť a uhol
Jedno číslo, ktoré prezradí, či sú vektory kolmé, a aký uhol zvierajú.
Skalárny súčin
u · v = u₁v₁ + u₂v₂
Výsledkom je číslo (skalár), nie vektor.
Kolmosť
u ⟂ v ⇔ u · v = 0
Nulový skalárny súčin = pravý uhol.
Uhol vektorov
cos φ = (u · v) / (|u|·|v|)
φ ∈ ⟨0°, 180°⟩.
Pri odchýlke priamok beríme |u · v| — absolútna hodnota zaručí ostrý (≤ 90°) uhol.
Zadaj zložky vektorov u a v; vypočíta sa u·v, veľkosti, cos φ aj uhol.
Súčin, kolmosť a uhol.
Parametrické vyjadrenie priamky
Parametrické vyjadrenie „pošle" bod po priamke podľa parametra t.
Parametrické
x = a₁ + t·u₁
y = a₂ + t·u₂, t ∈ ℝ
t = 0 → A, t = 1 → B.
Smerový → normálový
Z u = (u₁, u₂) je normála n = (−u₂, u₁); platí n · u = 0.
Urči smerový vektor a body.
Úsečka, polpriamka a polrovina
Tie isté súradnice, iný rozsah parametra — a z priamky je zrazu úsečka či polpriamka.
Priamka · polpriamka · úsečka
X = A + t·u
Rozsah parametra t rozhoduje, ktorý útvar dostaneme.
Polrovina
ax + by + c ≥ 0
Hranicou je priamka ax + by + c = 0; polrovina je jedna jej strana.
| Útvar | Rozsah t | Význam |
|---|---|---|
| Bod A | t = 0 | začiatok |
| Úsečka AB | t ∈ ⟨0, 1⟩ | medzi A a B |
| Polpriamka (od A) | t ∈ ⟨0, ∞) | jeden smer |
| Priamka | t ∈ ℝ | obidva smery |
Dosaď súradnice bodu do ax + by + c. Kladná hodnota = jedna polrovina, záporná = druhá, nula = bod leží na hraničnej priamke.
Zadaj priamku ax + by + c = 0 a bod; zistíš jeho polohu.
Rozsahy parametra a polroviny.
Všeobecná rovnica priamky
Všeobecná rovnica popíše priamku jediným vzťahom cez normálový vektor.
Všeobecná rovnica
ax + by + c = 0
Normálový vektor n = (a, b) je kolmý na priamku.
Zadaj body A a B; vypočíta sa smerový vektor, všeobecná rovnica aj smernica.
Nájdi normálu a rovnicu.
Smernicový a úsekový tvar
Tá istá priamka, štyri tváre — vyber tú, ktorá sa do úlohy hodí najviac.
Smernicový
y = kx + q
k = tg α = u₂/u₁, q = úsek na osi y.
Úsekový
x/p + y/q = 1
p, q sú úseky na osiach.
Over si prevod medzi tvarmi priamky.
Preveď do iného tvaru.
Vzájomná poloha dvoch priamok
Rovnobežné, totožné, alebo sa pretínajú? Rozhodne to pomer koeficientov.
Rôznobežné
a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0
Normály nie sú rovnobežné ⇒ jeden priesečník.
Rovnobežné rôzne
a₁ : a₂ = b₁ : b₂ ≠ c₁ : c₂
Žiadny spoločný bod.
Totožné
a₁ : a₂ = b₁ : b₂ = c₁ : c₂
Tá istá priamka.
Kolmé
n₁ · n₂ = a₁a₂ + b₁b₂ = 0
Špeciálny prípad rôznobežných.
Nájdeš ho vyriešením sústavy oboch rovníc (dosadením alebo sčítaním).
Zadaj dve priamky; určí sa ich vzťah a prípadný priesečník.
Príklad: p: x + y − 3 = 0, q: 2x − y = 0.
Klasifikácia a priesečník.
Uhol (odchýlka) dvoch priamok
Odchýlka priamok je vždy ostrá alebo pravá — preto tá absolútna hodnota.
Cez normály
cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|)
Funguje aj so smerovými vektormi u.
Cez smernice
tg φ = |(k₁ − k₂)/(1 + k₁k₂)|
Ak menovateľ = 0 ⇒ priamky sú kolmé.
Hraničné prípady
Rovnobežné: φ = 0°. Kolmé: φ = 90°.
φ ∈ ⟨0°, 90°⟩.
Zadaj normálové vektory oboch priamok; vyjde odchýlka φ.
Vzorec a hraničné prípady.
Vzdialenosť bodu od priamky
Najkratšia (kolmá) vzdialenosť bodu od priamky má jeden elegantný vzorec.
Bod od priamky
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
p: ax + by + c = 0, bod M[x₀, y₀].
Dve rovnobežky
d = |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
Platí, keď majú rovnaké a, b. Inak vezmi bod jednej a počítaj vzdialenosť od druhej.
Do menovateľa patrí √(a² + b²) = veľkosť normály, nie samotné c. Bod na priamke dá d = 0.
Zadaj priamku a bod; vypočíta sa vzdialenosť d.
Príklad: M[4, 3], p: 3x − 4y + 2 = 0.
Vzorec a výpočty.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok cez celú tému — vektor, tvary priamky, vzájomná poloha, uhol aj vzdialenosti.
Otestuj sa cez celú tému.