Lineárna rovnica
Rovnica s neznámou v prvej mocnine — základ celej algebry rovníc. Cieľom je nájsť číslo, ktoré po dosadení za x dáva pravdivú rovnosť.
Lineárna rovnica má tvar ax + b = 0, kde a ≠ 0. Riešením je číslo, ktoré po dosadení za x dáva pravdivú rovnosť.
Ekvivalentné úpravy — tvoje povolené ťahy
Nemenia množinu riešení, takže ich smieš robiť bez obáv.
Pripočítanie / odčítanie
K obom stranám pripočítaj (alebo odčítaj) to isté číslo či výraz.
Násobenie / delenie
Obe strany vynásob (alebo vydeľ) nenulovým číslom.
Príklad — vyrieš 3x + 5 = 20
Počet riešení a podmienky
Nie každá rovnica má práve jedno riešenie. Po úpravách na tvar a·x = c rozhodne koeficient pri x.
Jedno riešenie
keď a ≠ 0
2x = 6 ⇒ x = 3
Žiadne riešenie
nepravdivá rovnosť
0·x = 5
Nekonečne veľa
identita (vždy platí)
0·x = 0
Zadaj koeficienty a a b — hneď uvidíš počet riešení aj prečo.
Najprv urči podmienky (menovateľ ≠ 0), až potom riešenie. Korene, ktoré podmienku porušujú, vyhoď.
Príklad — vyrieš x / (x − 1) = 2
Ekvivalentné a dôsledkové úpravy
Kedy úprava zachová riešenia a kedy treba skúšku? Toto je najčastejší zdroj chýb na maturite.
Zachová množinu riešení. Patrí sem +/− čísla a ×/÷ nenulovým číslom.
Môže pridať cudzí koreň. Typicky umocnenie alebo násobenie výrazom s neznámou.
Po dôsledkovej úprave over, ktoré korene patria aj do pôvodnej rovnice a spĺňajú podmienky. Až tie sú skutočné riešenia.
Lineárne nerovnice
Riešia sa ako rovnice — s jedným kľúčovým rozdielom. Riešením nie je číslo, ale interval.
Lineárna nerovnica má tvar ax + b < 0 (alebo >, ≤, ≥). Riešením je interval hodnôt, nie jedno číslo.
Pri násobení alebo delení nerovnice záporným číslom sa znak nerovnosti otočí: < ⇔ >, ≤ ⇔ ≥.
Vyjdime z pravdivej nerovnosti 2 < 5. Vynásob obe strany číslom k a sleduj znak.
Príklad — vyrieš −2x + 1 ≥ 7
Intervaly a sústavy nerovníc
Ako správne zapísať riešenie a spojiť viac podmienok. Okrúhla zátvorka = bez krajného bodu, hranatá = vrátane.
| Zápis | Význam | Interval |
|---|---|---|
| x > a | ostro väčšie | (a, ∞) |
| x ≥ a | väčšie alebo rovné | ⟨a, ∞) |
| a < x ≤ b | medzi (vpravo vrátane) | (a, b⟩ |
Posuň hranice x ≥ p a x ≤ q. Spoločná časť na osi je riešenie sústavy.
Vyrieš každú nerovnicu zvlášť a výsledné intervaly prienikni (musia platiť súčasne). Napr. x ≥ 1 a x < 4 dáva x ∈ ⟨1, 4).
Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou
Zvislé čiary odstrániš rozlišovaním prípadov — alebo geometricky cez vzdialenosť.
|x − a| je vzdialenosť bodu x od a na číselnej osi. Preto sa rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou dajú „vidieť" na osi.
|x − a| = b
dva prípady (pre b ≥ 0):
x − a = b alebo x − a = −b
|x| < a „medzi"
−a < x < a
x ∈ (−a, a)
|x| > a „mimo"
x < −a alebo x > a
Posúvaj x a sleduj |x − 2|. Zelený pás je riešenie nerovnice |x − 2| ≤ 3.
Príklad — vyrieš |x − 2| ≤ 3
Sústavy dvoch rovníc
Dve rovnice, dve neznáme — dve spoľahlivé metódy. Cieľom je zbaviť sa jednej neznámej.
Dosadzovacia metóda
Z jednej rovnice vyjadri jednu neznámu a dosaď do druhej.
Sčítacia metóda
Rovnice vynásob tak, aby sa jedna neznáma pri sčítaní vyrušila.
Príklad — sčítacia metóda
Počet riešení a grafy
Každú rovnicu si predstav ako priamku. Riešenie sústavy je ich priesečník.
Jedno riešenie
priamky sa pretínajú — rôzne smernice
Žiadne riešenie
priamky sú rovnobežné — rovnaká smernica, iný posun
Nekonečne veľa
priamky sú totožné — tá istá priamka
Riešenie sústavy je priesečník dvoch priamok. Toto prepojenie využiješ v téme 9 (lineárna funkcia).
Parameter a nerovnica s dvoma neznámymi
Keď v rovnici vystupuje aj „neznáma konštanta" (parameter), treba diskutovať počet riešení podľa jej hodnoty.
Meň parameter a a sleduj, ako sa mení počet riešení.
Pri parametri vždy osobitne rozober prípad, keď je koeficient pri neznámej nulový — vtedy rovnica prestáva byť lineárna.
Nerovnica s dvoma neznámymi (polrovina)
Nerovnica ax + by + c < 0 má za riešenie celú polrovinu. Hranicou je priamka ax + by + c = 0.
1. Nakresli hraničnú priamku (plnú pre ≤, ≥, prerušovanú pre <, >). 2. Vyber skúšobný bod (napr. [0, 0]) a dosaď. 3. Ak nerovnosť platí, vyfarbi polrovinu s bodom; inak druhú.
Slovné úlohy
Preklad zo slovenčiny do rovnice — najcennejšia zručnosť. Postup je vždy rovnaký.
1. Označ neznámu (čo hľadáš = x). 2. Zo zadania zostav rovnicu. 3. Vyrieš. 4. Over a odpovedz celou vetou (vrátane jednotiek).
Príklad — o číslach
Súčet dvoch po sebe idúcich celých čísel je 47. Označ menšie ako x.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪