Lineárna funkcia
Najjednoduchšia funkcia. Predpis y = kx + q, jej grafom je vždy priamka. Dve čísla — k a q — určujú, o ktorú priamku ide.
k — smernica (sklon)
Ako prudko priamka stúpa alebo klesá. Posun o 1 doprava znamená posun o k hore.
q — posun
Kde priamka pretína os y. Priamka prechádza bodom [0, q].
k > 0
Rastúca — priamka stúpa zľava doprava.
k < 0
Klesajúca — priamka klesá.
k = 0
Konštantná — vodorovná priamka y = q.
Meň smernicu k a posun q a sleduj, ako sa priamka otáča a posúva.
Vyznač bod [0, q], potom z neho urob „schodík“: 1 doprava a k hore (alebo dole, ak je k záporné). Spoj a máš priamku.
Smernica a vzájomná poloha
Smernicu z dvoch bodov [x₁, y₁], [x₂, y₂] vypočítaš ako k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Podľa smerníc poznáš, ako sú dve priamky voči sebe položené.
Rovnobežné
k₁ = k₂
Rovnaký sklon — nikdy sa nepretnú.
Kolmé
k₁ · k₂ = −1
Zvierajú pravý uhol (90°).
Priesečník dvoch priamok = riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc. Rovnobežné priamky ⟺ sústava bez riešenia.
Prepni vzťah a posuň smernicu prvej priamky. Druhá sa dopočíta automaticky.
Klikni správnu odpoveď. Po odpovedi uvidíš vysvetlenie.
Predpis priamky a priama úmernosť
Zo zadania často dostaneš dva body alebo bod a smernicu. Cieľom je nájsť k a q — teda celú rovnicu priamky.
Z dvoch bodov
Najprv vypočítaj k z bodov, potom q dosadením jedného bodu do y = kx + q.
Z bodu a smernice
Máš k aj jeden bod — dosaď do y = kx + q a vypočítaj q.
Priamka prechádza bodmi [1, 3] a [3, 7]. Nájdi jej predpis.
Ak q = 0, ide o priamu úmernosť y = kx — grafom je priamka prechádzajúca počiatkom [0, 0].
Nájdi k a q.
Kvadratická funkcia
Predpis y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0. Jej grafom je parabola. Smer a šírku určuje koeficient a.
a > 0 — otvorená nahor
Parabola má minimum (najnižší bod = vrchol).
a < 0 — otvorená nadol
Parabola má maximum (najvyšší bod = vrchol).
Čím väčšie |a|, tým užšia parabola. Člen c je priesečník s osou y (dosadíš x = 0).
Meň a, b, c a sleduj, ako sa parabola otvára, zužuje a prevracia.
Vrchol a os súmernosti
Vrchol je najdôležitejší bod paraboly. Jeho x-ová súradnica je m = −b/(2a), y-ovú dopočítaš dosadením: V = [m, f(m)]. Os súmernosti je zvislá priamka x = m.
Doplnením na štvorec (Téma 4) prepíšeš predpis na y = a(x − m)² + n, odkiaľ hneď čítaš vrchol V = [m, n].
Zadaj koeficienty a parabola sa vykreslí spolu s vrcholom V a osou súmernosti.
Ako sa z bežného tvaru dostaneš k vrcholovému.
Predpis kvadratickej funkcie
Zo zadania zvyčajne poznáš vrchol a jeden bod, alebo tri body. Z toho vieš dopočítať celú rovnicu paraboly.
Z vrcholu a bodu
Do y = a(x − m)² + n dosaď vrchol [m, n] a bod → vypočítaj a.
Z troch bodov
Tri body dajú tri rovnice pre a, b, c — vyriešiš ako sústavu.
Parabola má vrchol [1, 2] a prechádza bodom [0, 4]. Nájdi predpis.
Vrcholový tvar a sústavy.
Priesečníky a kreslenie
Štyri body a parabola je hotová. Počet priesečníkov s osou x prezradí diskriminant (Téma 7).
| Postup pri parabole | Ako |
|---|---|
| 1 · priesečník s osou y | dosaď x = 0 → bod [0, c] |
| 2 · priesečníky s osou x | rieš f(x) = 0 (diskriminant) |
| 3 · vrchol | m = −b/(2a), dopočítaj f(m) |
| 4 · os súmernosti | zvislá priamka x = m |
D > 0
2 priesečníky s osou x.
D = 0
Vrchol leží na osi x (1 dotyk).
D < 0
Parabola os x nepretne.
Posúvaj člen c nahor a nadol pri y = x² + c a sleduj, ako sa mení počet priesečníkov s osou x.
Koľko priesečníkov?
Obor hodnôt, extrém a hodnota v intervale
Čo všetko z grafu prečítaš: definičný obor, obor hodnôt, monotónnosť a extrém — aj na zadanom intervale.
Lineárna (k ≠ 0)
D = ℝ, H = ℝ
Je prostá a monotónna.
Kvadratická
D = ℝ, H = ⟨n, ∞) pre a > 0
Obor hodnôt závisí od vrcholu.
Vrchol delí parabolu: pri a > 0 funkcia vľavo od vrcholu klesá a vpravo rastie (pri a < 0 naopak).
Hľadaj extrém vo vrchole (ak doň patrí) a v krajných bodoch α, β — a porovnaj hodnoty. Pri lineárnej funkcii je extrém vždy v krajnom bode.
Funkcia y = x² − 4x + 1 (vrchol v x = 2). Posuň hranice intervalu ⟨α, β⟩ a sleduj, kde leží minimum a maximum.
Extrém vo vrchole alebo v kraji?
Lineárna lomená funkcia
Podiel, ktorého grafom je hyperbola. Funkcia y = k/x (resp. (ax+b)/(cx+d)) má dve asymptoty a definičný obor, ktorý vylučuje nulový menovateľ.
Zvislá asymptota
Kde je menovateľ 0. Pri y = k/x je to x = 0.
Vodorovná asymptota
Kam graf smeruje pre veľké |x|. Pri y = k/x je to y = 0.
Graf sa k asymptote nekonečne približuje, ale nikdy ju nepretne. Pri y = 1/(x−2) + 3 sú asymptoty x = 2 a y = 3.
Skúmaj y = k/(x − p) + n. Posúvaním p a n ťaháš asymptoty, ku ktorým sa hyperbola blíži.
Asymptoty a definičný obor.
Riešené príklady
Sedem typov úloh, ktoré sa na maturite objavujú najčastejšie. Skús si každú najprv vyriešiť sám, potom odkrývaj kroky.
Priamka cez [0, 1] a [2, 5].
y = x² + 6x + 5 — nájdi vrchol a obor hodnôt.
y = x² − 4 — kde pretína os x?
Nájdi priamku kolmú na y = 2x + 1.
Nájdi najmenšiu hodnotu y = x² − 4x + 1 na ⟨0, 3⟩.
Vrchol [2, −1], prechádza bodom [0, 3].
Pre y = 1/(x − 2) urči asymptoty a definičný obor.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — priamka, parabola, vrchol, interval aj hyperbola. Koľko zvládneš na prvý pokus?
Otestuj sa naprieč celou témou. Veľa šťastia!