Limita postupnosti
Limita hovorí, kam sa členy postupnosti „mieria", keď ideme ďalej a ďalej.
Limita postupnosti
Členy sa nekonečne približujú k číslu a: lim aₙ = a.
Konvergencia
S konečnou limitou ⇒ konvergentná; bez limity ⇒ divergentná.
Vlastná / nevlastná
Vlastná = konečné číslo; nevlastná = ±∞.
Postupnosť má najviac jednu limitu. Konštantná postupnosť konverguje: lim c = c.
Monotónnosť
Rastúca: aₙ₊₁ > aₙ pre každé n; klesajúca: aₙ₊₁ < aₙ. Neostro (≥, ≤) = neklesajúca / nerastúca.
Ohraničenosť
Zhora: existuje horné ohraničenie M, aₙ ≤ M. Zdola: aₙ ≥ m. Ohraničená = zhora aj zdola.
Každá monotónna a ohraničená postupnosť je konvergentná. Napr. (1 + 1/n)ⁿ rastie a je ohraničená ⇒ má limitu e.
Konvergentná ⇒ ohraničená, ale ohraničená nemusí byť konvergentná: aₙ = (−1)ⁿ je ohraničená, no diverguje (osciluje medzi −1 a 1).
Konvergencia a typy.
Pravidlá počítania a význačné limity
Pri „pekných" výrazoch limitu spočítame po častiach; pár limít sa oplatí poznať naspamäť.
Pravidlá počítania
lim(aₙ ± bₙ) = lim aₙ ± lim bₙ
lim(aₙ·bₙ) = lim aₙ · lim bₙ
pri podiele musí byť lim bₙ ≠ 0.
Význačné limity
lim 1/n = 0
lim qⁿ = 0 (|q|<1)
lim (1 + 1/n)ⁿ = e
Klikni a over si hodnotu limity.
Vypočítaj limitu.
Nekonečný geometrický rad
Keď do nekonečna sčítavame členy geometrickej postupnosti, čiastočné súčty majú limitu — tá je súčtom radu.
Súčet radu
Rad a₁ + a₁q + a₁q² + … konverguje práve vtedy, keď |q| < 1.
s = a₁ / (1 − q)
Odkiaľ je vzorec
Čiastočný súčet sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Pre |q| < 1 je qⁿ → 0, teda sₙ → a₁/(1 − q).
Ak |q| ≥ 1, rad diverguje a konečný súčet neexistuje. Vzorec platí výhradne pre |q| < 1.
Zapíš 0,333… ako zlomok pomocou súčtu radu.
Rozhodni o konvergencii a spočítaj súčet.
Limita funkcie
Pri funkciách sledujeme, kam mieri f(x), keď sa x blíži k bodu — aj zľava, aj sprava.
Limita funkcie v bode
limx→a f(x) = b — keď sa x blíži k a, f(x) sa blíži k b. Hodnota f(a) pritom nemusí existovať.
Jednostranné limity
zľava limx→a⁻ a sprava limx→a⁺.
limita existuje ⇔ obe sa rovnajú
limx→0⁺ 1/x = +∞ · limx→0⁻ 1/x = −∞ · limx→∞ 1/x = 0.
limx→0 (sin x)/x = 1
Platí pre x v radiánoch. Vyplýva z nej napr. limx→0 (tg x)/x = 1.
Jednostranné a nevlastné limity.
Neurčité výrazy a techniky
Keď dosadenie zlyhá (0/0, ∞/∞, ∞−∞), výraz najprv šikovne upravíme.
Typy a techniky
0/0 racionálna → rozlož a vykráti · ∞/∞ → vydeľ najvyššou mocninou · 0/0 s odmocninou → usmerni · ∞ − ∞ → uprav na zlomok
Idea
Dosadenie dá neurčitý výraz → výraz najprv uprav, až potom dosaď.
Vypočítaj limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
Odstráň neurčitosť a dopočítaj.
Spojitosť funkcie
Funkcia je spojitá, ak ju nakreslíš „jedným ťahom" — limita sa rovná funkčnej hodnote.
Spojitosť v bode
f spojitá v a ⇔ limx→a f(x) = f(a)
Musí platiť troje naraz: f(a) existuje, limita existuje a obe sa rovnajú.
Jednostranne · na intervale
Spojitá zľava: limx→a⁻ f(x) = f(a); sprava analogicky. Na intervale = spojitá v každom jeho bode.
Mnohočleny, exponenciálne, logaritmické aj goniometrické funkcie sú spojité na celom definičnom obore. Súčet, súčin, podiel (kde menovateľ ≠ 0) a zložená funkcia spojitých funkcií sú zas spojité.
Body nespojitosti
Odstrániteľná: limita existuje, ale f(a) chýba alebo je iná (napr. (x²−1)/(x−1) v x = 1). Neodstrániteľná: jednostranné limity sa líšia (skok) alebo sú nevlastné (pól).
Weierstrassova veta
Funkcia spojitá na uzavretom intervale ⟨a, b⟩ tam nadobúda svoje maximum aj minimum.
Ak je f spojitá na ⟨a, b⟩ a hodnoty f(a), f(b) majú opačné znamienka, existuje bod c ∈ (a, b) s f(c) = 0 — graf musí pretnúť os x.
Rozhodni o spojitosti.
Záverečný kvíz
Štrnásť otázok maturitného typu naprieč limitami.
Cez celú tému — postupnosti, funkcie aj neurčité výrazy.