Čo je vlastné číslo a vlastný vektor
Nech A je štvorcová matica typu n × n. Nenulový vektor v ≠ 0 nazveme vlastným vektorom, ak preň existuje číslo λ také, že A v = λ v. Toto číslo λ je príslušné vlastné číslo.
Geometricky: matica A vo všeobecnosti vektor otočí aj natiahne. Vlastný vektor je výnimočný — matica mu smer zachová a iba ho preškáluje faktorom λ. Ak λ > 1, vektor sa natiahne; ak 0 < λ < 1, stlačí; ak λ < 0, otočí o 180°.
Pôsobenie matice
Matica zobrazí vektor v na vektor A v. Pri vlastnom vektore leží A v na tej istej priamke ako v.
Mierka
Vlastné číslo λ hovorí, koľkokrát sa vektor natiahne. Smer ostáva (alebo sa obráti pri zápornom λ).
Nenulovosť
Vektor v musí byť nenulový — pre v = 0 rovnosť platí triviálne pri ľubovoľnom λ, čo nič nehovorí.
Číslo λ je vlastné číslo matice A, ak existuje vektor v ≠ 0 s vlastnosťou A v = λ v. Množinu všetkých vlastných vektorov k danému λ (spolu s nulovým vektorom) tvorí vlastný podpriestor.
Príklad pôsobenia
Pre 2003 a vektor v = (1, 0) platí A v = (2, 0) = 2 v. Teda v je vlastný vektor s λ = 2.
Geometria
Vektor A v (svetlejší) leží na rovnakej priamke ako v — len je dlhší.
Vyber správnu odpoveď.
Charakteristický polynóm
Ako vlastné čísla nájsť? Rovnosť A v = λ v prepíšeme na (A − λI) v = 0. Aby táto homogénna sústava mala nenulové riešenie, musí byť matica A − λI singulárna.
Singulárna matica má nulový determinant. Dostávame charakteristickú rovnicu det(A − λI) = 0. Jej ľavá strana je charakteristický polynóm stupňa n v premennej λ a jeho korene sú práve vlastné čísla matice A.
Postup
1. Zostav A − λI (od diagonály odčítaj λ).
2. Vypočítaj det(A − λI).
3. Polož = 0 a vyrieš pre λ.
Polynóm 2×2
Pre abcd je char. polynóm λ² − (a+d)λ + (ad−bc), čiže λ² − (stopa)λ + det.
Ak je matica trojuholníková (alebo diagonálna), jej vlastné čísla sú priamo prvky na hlavnej diagonále. Napríklad 5203 má λ = 5 a λ = 3.
Nájdeme korene charakteristického polynómu. Klikaj.
Vyber správnu odpoveď.
Vlastné vektory
Keď poznáme vlastné číslo λ, vlastný vektor dostaneme riešením homogénnej sústavy (A − λI) v = 0. Sústava má nekonečne veľa riešení — vyberieme jedno nenulové.
Pretože A − λI je singulárna, riadky sú lineárne závislé a sústava má voľný parameter. Riešením je celá priamka (vlastný podpriestor); za reprezentanta volíme pekný vektor s celými zložkami.
Homogénna sústava
(A − λI) v = 0 má vždy nenulové riešenie, lebo determinant matice sústavy je nula. Hľadáme jadro (nulový priestor) matice A − λI.
Normalizácia
Vlastný vektor nie je jednoznačný — s v je vlastný aj každý násobok c v (pre c ≠ 0). Spravidla volíme najmenšie celé čísla.
Nulový vektor nikdy nie je vlastný vektor, hoci formálne sústavu (A − λI) v = 0 spĺňa. Vlastný vektor musí byť nenulový.
Matica 2112, vlastné číslo λ = 3. Klikaj.
Vyber správnu odpoveď.
Diagonalizácia
Ak má matica A typu n × n dostatok vlastných vektorov, dá sa rozložiť na tvar A = P D P⁻¹, kde D je diagonálna. Takejto matici hovoríme diagonalizovateľná.
Do stĺpcov matice P dáme vlastné vektory a na diagonálu D príslušné vlastné čísla — v rovnakom poradí. Podmienka: matica A musí mať n lineárne nezávislých vlastných vektorov (inak ju takto rozložiť nemožno).
A = P D P⁻¹, kde stĺpce P sú vlastné vektory a D = diag(λ₁, …, λₙ). Poradie stĺpcov v P musí zodpovedať poradiu čísel v D.
Klikni a over si výsledok.
Vyber správnu odpoveď.
Vlastnosti a aplikácie
Vlastné čísla skrývajú dve elegantné rovnosti a otvárajú dvere k mocninám matíc aj k slávnej Cayleyho–Hamiltonovej vete.
Súčet = stopa
Súčet všetkých vlastných čísel sa rovná stope matice (súčtu prvkov na diagonále): λ₁ + … + λₙ = tr A.
Súčin = determinant
Súčin všetkých vlastných čísel sa rovná determinantu: λ₁ · … · λₙ = det A. Preto má singulárna matica vlastné číslo 0.
Pre 2112 sme našli λ = 1 a λ = 3. Kontrola: stopa = 2 + 2 = 4 = 1 + 3 ✓ a det = 4 − 1 = 3 = 1 · 3 ✓.
Cayleyho–Hamiltonova veta
Každá štvorcová matica spĺňa svoju vlastnú charakteristickú rovnicu. Ak p(λ) = det(A − λI), potom p(A) = 0 (nulová matica). Pre 2112 je p(λ) = λ² − 4λ + 3, takže A² − 4A + 3I = O.
Mocniny matice
Diagonalizácia robí z umocňovania hračku. Z A = P D P⁻¹ plynie Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, pričom Dᵏ umocníme len na diagonále. Namiesto k násobení matíc stačí umocniť čísla.
Mocnina diagonálnej
2003³ = 80027 — len 2³ = 8 a 3³ = 27.
Prečo to funguje
Aᵏ = (P D P⁻¹)ᵏ = P Dᵏ P⁻¹, lebo vnútorné P⁻¹ P = I sa navzájom vyrušia.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od definície A v = λ v cez charakteristický polynóm a vlastné vektory až po diagonalizáciu a vlastnosti.
Otestuj sa cez celú tému.