Sústava a jej maticový zápis
Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi x1, …, xn má tvar ai1x1 + … + ainxn = bi pre i = 1…m. Celú ju zhrnieme do jednej maticovej rovnice A·x = b.
Matica sústavy
Koeficienty pri neznámych, rozmer m × n. Pre sústavu x + y = 3, x − y = 1 je 111−1
Vektor pravých strán
Stĺpec čísel za rovnítkom, rozmer m × 1. Tu 31
Rozšírená matica
K matici A pripíšeme stĺpec b. Tu 1131−11
Pri riešení pracujeme len s číslami — neznáme x, y nemusíme prepisovať. Všetka informácia o sústave je uložená v rozšírenej matici (A|b). Zvislá čiara len pripomína, kde končia koeficienty a začínajú pravé strany.
Vyber správnu odpoveď.
Gaussova eliminácia
Sústavu riešime tak, že rozšírenú maticu prevedieme elementárnymi riadkovými úpravami na odstupňovaný (schodovitý) tvar. Tieto úpravy menia maticu, ale nemenia množinu riešení.
Výmena riadkov
Dva riadky vymeníme medzi sebou. Ri ↔ Rj
Násobenie skalárom
Riadok vynásobíme nenulovým číslom. Ri → c·Ri, c ≠ 0
Pripočítanie násobku
K riadku pripočítame násobok iného. Ri → Ri + c·Rj
Matica je v odstupňovanom (schodovitom) tvare, keď každý nenulový riadok začína viac vpravo ako riadok nad ním a prípadné nulové riadky sú dole. Vtedy už riešenie ľahko prečítame spätným dosadzovaním.
Rozšírená matica je 1131−11. Klikaj a sleduj elimináciu.
Vyber správnu odpoveď.
Hodnosť matice
Hodnosť matice rank A (značíme aj h(A)) je počet nenulových riadkov, ktoré zostanú po prevedení matice na odstupňovaný tvar. Je to počet skutočne „nezávislých" rovníc.
Ako ju zistíme
Maticu upravíme Gaussovou elimináciou a spočítame riadky, ktoré nie sú celé nulové. Elementárne úpravy hodnosť nemenia.
Hranice
Vždy platí 0 ≤ rank A ≤ min(m, n). Nulová matica má hodnosť 0.
Matica 1122 má po úprave R2 → R2 − 2R1 tvar 1100 — jeden nenulový riadok, teda rank = 1. Druhá rovnica nepriniesla nič nové.
Vyber správnu odpoveď.
Frobeniova veta o riešiteľnosti
O počte riešení rozhodneme bez toho, aby sme ich hľadali — stačí porovnať hodnosti. Sústava má riešenie práve vtedy, keď rank A = rank (A|b).
Žiadne riešenie
rank A < rank (A|b). V odstupňovanom tvare vyšiel riadok 0 = nenula — spor.
Práve jedno
rank A = rank (A|b) = n. Hodnosť sa rovná počtu neznámych — žiadny voľný parameter.
Nekonečne veľa
rank A = rank (A|b) < n. Zostane n − rank voľných parametrov.
Sústava x + y = 2, 2x + 2y = 5 dáva po R2 → R2 − 2R1 riadok 0 = 1. Tu rank A = 1, ale rank (A|b) = 2 — hodnosti sa líšia, riešenie neexistuje.
Klikni a over si počet riešení.
Vyber správnu odpoveď.
Štruktúra riešení
Keď má sústava nekonečne veľa riešení, nie sú náhodné — majú peknú štruktúru. Kľúčom je homogénna sústava A·x = 0, ktorá má na pravej strane samé nuly.
Homogénna sústava Ax = 0
Vždy má aspoň triviálne riešenie x = 0 (rank A = rank (A|0) automaticky). Ak rank A < n, má aj netriviálne riešenia.
Voľné parametre
Neznáme bez vedúceho prvku v odstupňovanom tvare volíme voľne. Ich počet je n − rank A a určuje „rozmer" množiny riešení.
Všeobecné riešenie nehomogénnej sústavy Ax = b je x = xp + xh: jedno partikulárne riešenie xp plus všeobecné riešenie homogénnej sústavy xh. Napríklad pri x + y = 2, 2x + 2y = 4 je rank = 1 < 2, jeden voľný parameter t a riešenie x = 2 − t, y = t.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od maticového zápisu cez Gaussovu elimináciu a hodnosť až po Frobeniovu vetu a štruktúru riešení.
Otestuj sa cez celú tému.