Skalárny súčin a norma
Skalárny súčin dvoch vektorov u, v v ℝⁿ je číslo ⟨u,v⟩ = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ. Vznikne tak nástroj na meranie dĺžok aj uhlov.
Definícia
Vynásob zodpovedajúce zložky a sčítaj: ⟨u,v⟩ = Σᵢ uᵢvᵢ. Výsledok je reálne číslo, nie vektor.
Norma
Dĺžka vektora je ‖u‖ = √⟨u,u⟩ = √(u₁² + … + uₙ²). Vždy ‖u‖ ≥ 0.
Vlastnosti
Symetria ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩, linearita v každej zložke a pozitívna definitnosť.
Symetria: ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩. Linearita: ⟨au+bw, v⟩ = a⟨u,v⟩ + b⟨w,v⟩. Pozitívna definitnosť: ⟨u,u⟩ ≥ 0 a rovná sa 0 jedine pre u = 0.
Výpočet po zložkách
Pre u = (1, 2) a v = (3, 1) je ⟨u,v⟩ = 1·3 + 2·1 = 5. Normy: ‖u‖ = √(1 + 4) = √5 a ‖v‖ = √(9 + 1) = √10.
Vyber správnu odpoveď.
Uhol a nerovnosti
Skalárny súčin meria uhol medzi vektormi cez vzorec cos φ = ⟨u,v⟩ / (‖u‖·‖v‖). Tým prepája algebru s geometriou.
Uhol medzi vektormi
cos φ = ⟨u,v⟩ / (‖u‖·‖v‖). Kladný súčin ⇒ ostrý uhol, záporný ⇒ tupý, nulový ⇒ pravý.
Cauchy–Schwarz
|⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖. Rovnosť nastane práve vtedy, keď sú vektory rovnobežné (lineárne závislé).
Práve Cauchyho–Schwarzova nerovnosť zaručuje, že zlomok ⟨u,v⟩ / (‖u‖·‖v‖) leží medzi −1 a 1 — takže uhol φ je vždy dobre definovaný.
Trojuholníková nerovnosť
Z Cauchyho–Schwarza plynie ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ — dĺžka súčtu nepresiahne súčet dĺžok. Geometricky: priama cesta je najkratšia.
Pre u = (1, 2), v = (3, 1): cos φ = 5 / (√5·√10) = 5/√50 = 1/√2, takže φ = 45°. Kontrola Cauchy–Schwarz: |5| ≤ √50 ≈ 7,07 ✓.
Vyber správnu odpoveď.
Ortogonalita
Dva vektory sú ortogonálne (kolmé), keď ich skalárny súčin je nula: u ⊥ v ⇔ ⟨u,v⟩ = 0. Je to algebraická podmienka pre pravý uhol.
Kolmosť
⟨u,v⟩ = 0 ⇔ φ = 90°. Napríklad (1,0) ⊥ (0,1), lebo 1·0 + 0·1 = 0.
Ortonormálna báza
Báza, kde sú všetky vektory navzájom kolmé a každý má normu 1: ⟨eᵢ,eⱼ⟩ = 0 pre i ≠ j a ‖eᵢ‖ = 1.
Pytagorova veta
Ak u ⊥ v, potom ‖u+v‖² = ‖u‖² + ‖v‖². Klasická veta v rúchu vektorov.
Pytagorova rovnosť ‖u+v‖² = ‖u‖² + ‖v‖² platí iba pri kolmosti. Vo všeobecnosti ‖u+v‖² = ‖u‖² + 2⟨u,v⟩ + ‖v‖² — člen 2⟨u,v⟩ zmizne práve vtedy, keď u ⊥ v.
Klikni a over si skalárny súčin.
Vyber správnu odpoveď.
Gram–Schmidtova ortogonalizácia
Z ľubovoľnej bázy vyrobí Gram–Schmidtov proces ortogonálnu bázu — postupne odčíta od každého vektora jeho priemety na už hotové smery.
Postup
Prvý vektor ponecháme: w₁ = v₁. Druhý očistíme: w₂ = v₂ − (⟨v₂,w₁⟩/⟨w₁,w₁⟩)·w₁. A tak ďalej.
Normovanie
Ortogonálnu bázu zmeníme na ortonormálnu vydelením normou: eᵢ = wᵢ / ‖wᵢ‖.
Od v₂ odčítame jeho projekciu na w₁. Zostane len tá časť, ktorá je na w₁ kolmá — a presne to chceme.
Klikaj a sleduj, ako vznikne kolmá dvojica.
Vyber správnu odpoveď.
Ortogonálna projekcia a doplnok
Projekcia vektora v na smer u je projᵤ(v) = (⟨v,u⟩/⟨u,u⟩)·u — najbližší bod na priamke určenej u.
Projekcia na vektor
projᵤ(v) = (⟨v,u⟩/⟨u,u⟩)·u. Rozdiel v − projᵤ(v) je vždy kolmý na u.
Ortogonálny doplnok W⊥
Množina všetkých vektorov kolmých na podpriestor W: W⊥ = { x : ⟨x,w⟩ = 0 ∀ w ∈ W }. Je to opäť podpriestor.
Každý vektor sa jednoznačne rozloží na časť v W a časť v W⊥: v = proj_W(v) + (v − proj_W(v)). Platí dim W + dim W⊥ = n.
Výpočet projekcie
Projekcia v = (3, 2) na u = (1, 0): ⟨v,u⟩ = 3, ⟨u,u⟩ = 1, teda projᵤ(v) = (3/1)·(1,0) = (3,0). Zvyšok (3,2) − (3,0) = (0,2) je naozaj kolmý na u.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od skalárneho súčinu cez uhly a kolmosť až po Gram–Schmidt a projekciu.
Otestuj sa cez celú tému.