Matice a maticový počet — interaktívna lekcia

01 Základ

Čo je matica

Matica typu m × n je obdĺžniková tabuľka s m riadkami a n stĺpcami. Prvok v i-tom riadku a j-tom stĺpci značíme a_ij.

m×n

Rozmer

Najprv riadky, potom stĺpce. Matica 102431 má rozmer 2×3.

a_ij

Prvok

Index a_ij: riadok i, stĺpec j. V matici vyššie je a₁₃ = 2, a₂₁ = 4.

□

Typy

Štvorcová (m = n), riadkový/stĺpcový vektor, nulová O, jednotková I, diagonálna.

Zápis

Maticu zapisujeme A = (a_ij), i = 1…m, j = 1…n. Dve matice sú rovnaké, ak majú rovnaký rozmer a všetky zodpovedajúce prvky sa rovnajú.

Otestuj sa — pojem matice

Vyber správnu odpoveď.

02 Operácie

Sčítanie a násobenie skalárom

Sčítavame a násobíme skalárom po zložkách — jednoducho a prvok po prvku.

Súčet A + B

Iba pri rovnakom rozmere. (A+B)_ij = a_ij + b_ij

Skalár c · A

Každý prvok krát c. (cA)_ij = c · a_ij

Pozor na rozmer

Maticu 2×3 a 3×2 nemožno sčítať — sčítanie vyžaduje zhodný rozmer. Násobenie skalárom funguje vždy.

Otoč kartu — spočítaj

Klikni a over si výsledok.

Otestuj sa — sčítanie a skalár

Vyber správny výsledok.

03 Jadro témy

Súčin matíc

Súčin AB ide riadok krát stĺpec: prvok (AB)_ij je skalárny súčin i-teho riadku A a j-teho stĺpca B.

Podmienka rozmerov

A_m×n · B_n×p = C_m×p
Stĺpce A sa musia rovnať riadkom B.

Vzorec

(AB)_ij = Σ_k a_ik b_kj

Nekomutatívne

Vo všeobecnosti AB ≠ BA — na poradí záleží! Niekedy dokonca BA ani nemá zmysel (nesedia rozmery).

Krok za krokom — súčin 2×2

Násobíme 1234 · 5678. Klikaj.

Otestuj sa — súčin matíc

Vyber správnu odpoveď.

04 Jadro témy

Transpozícia a špeciálne matice

Transpozícia Aᵀ preklopí maticu okolo hlavnej diagonály — riadky sa stanú stĺpcami.

Jednotková I

Na diagonále 1, inde 0. 1001 Platí A·I = I·A = A.

Transponovaná Aᵀ

(Aᵀ)_ij = a_ji. Z rozmeru m×n vznikne n×m.

Symetrická

A = Aᵀ (musí byť štvorcová). Prvky sú zrkadlové podľa diagonály.

Pravidlo súčinu

Transpozícia súčinu obracia poradie: (AB)ᵀ = Bᵀ Aᵀ. Tiež (Aᵀ)ᵀ = A.

Otoč kartu — transpozícia a špeciálne matice

Klikni a over si.

Otestuj sa — transpozícia

Vyber správnu odpoveď.

05 Aplikácia

Inverzná matica

Inverzná matica A⁻¹ je „prevrátená" matica: platí A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Existuje len pre štvorcové regulárne matice.

Regulárna vs. singulárna

Inverzná existuje práve vtedy, keď det A ≠ 0 (regulárna). Ak det A = 0, matica je singulárna a inverznú nemá.

Vzorec 2×2

Pre abcd je A⁻¹ = 1/(ad−bc) · d−b−ca

Trik 2×2

Vymeň prvky na diagonále, zvyšným zmeň znamienko a vyděl determinantom ad − bc. Pre väčšie matice použiješ Gaussovu–Jordanovu elimináciu.

Krok za krokom — inverzná k 2111

Klikaj a sleduj postup.

Otestuj sa — inverzná matica

Vyber správnu odpoveď.

06 Test

Záverečný kvíz

Desať otázok cez celý maticový počet — od rozmeru po inverznú maticu.

Záverečný kvíz — 10 otázok

Otestuj sa cez celú tému.