Čo je determinant
Determinant je zobrazenie, ktoré každej štvorcovej matici A priradí jediné číslo det A (značíme aj |A|). Pre maticu typu 2×2 platí jednoduchý vzorec.
Vzorec 2×2
Pre abcd je det A = ad − bc — súčin na hlavnej diagonále mínus súčin na vedľajšej.
Príklad
det 2113 = 2·3 − 1·1 = 5. Najprv diagonála, potom rozdiel.
V rovine je |det A| obsah rovnobežníka napnutého stĺpcami matice; v priestore je to objem rovnobežnostena. Znamienko určuje orientáciu (zachovaná, či prevrátená). Ak det A = 0, stĺpce ležia na priamke (resp. v rovine) a útvar „skolabuje“.
Vyber správnu odpoveď.
Determinant 3×3
Determinant 3×3 zvládneš dvoma cestami: Sarrusovým pravidlom (rýchle, len pre 3×3) alebo Laplaceovým rozvojom podľa ľubovoľného riadku či stĺpca (funguje pre každé n).
Sarrusovo pravidlo
Pripíš prvé dva stĺpce vpravo a sčítaj tri diagonály „↘“ mínus tri diagonály „↙“. Funguje iba pre 3×3.
Laplaceov rozvoj
Vyber riadok (alebo stĺpec) a sčítaj det A = Σj aij · Aij, kde Aij je kofaktor.
Minor Mij je determinant matice, ktorá vznikne vyškrtnutím i-teho riadku a j-teho stĺpca. Kofaktor je Aij = (−1)i+j · Mij. Znamienka sa striedajú v šachovnici + − + / − + − / + − +.
Rozvíjaj podľa riadku alebo stĺpca s najviac nulami — každá nula vynuluje celý jeden člen a ušetrí ti počítanie minora.
Počítame det 123014560 rozvojom podľa prvého riadku. Klikaj.
Vyber správnu odpoveď.
Vlastnosti determinantu
Determinant má bohatú algebru. Tieto vlastnosti ti často ušetria celý výpočet — niekedy stačí pozrieť na maticu.
Súčin
det(AB) = det A · det B. Determinant súčinu je súčin determinantov.
Transpozícia
det Aᵀ = det A. Preto všetko, čo platí pre riadky, platí aj pre stĺpce.
Výmena riadkov
Výmena dvoch riadkov (či stĺpcov) zmení znamienko determinantu.
Vo všeobecnosti det(A + B) ≠ det A + det B. Determinant je multiplikatívny (cez súčin), nie aditívny. Tiež det(cA) = cⁿ · det A pre maticu n×n.
Klikni a over si výsledok.
Vyber správnu odpoveď.
Regulárnosť a determinant
Determinant je test invertovateľnosti. Nasledujúce tvrdenia o štvorcovej matici A typu n×n sú navzájom ekvivalentné — buď platia všetky naraz, alebo žiadne.
Regulárna matica
det A ≠ 0 ⇔ A je regulárna (invertovateľná) ⇔ riadky sú lineárne nezávislé ⇔ rank A = n.
Singulárna matica
det A = 0 ⇔ A nemá inverznú ⇔ riadky sú lineárne závislé ⇔ rank A < n.
Ak je A regulárna, tak z A·A⁻¹ = I a det I = 1 dostaneme det(A⁻¹) = 1 / det A. Nulový riadok (alebo stĺpec) okamžite dáva det A = 0.
Vyber správnu odpoveď.
Cramerovo pravidlo
Cramerovo pravidlo rieši sústavu A·x = b priamo cez determinanty — funguje pri regulárnej matici (det A ≠ 0).
Vzorec
xi = det(Ai) / det(A), kde Ai vznikne nahradením i-teho stĺpca matice A pravou stranou b.
Inverzná cez adjungovanú
A⁻¹ = (1 / det A) · adj A, kde adj A je transpozícia matice kofaktorov Aij.
Cramer je elegantný pre malé sústavy (2×2, 3×3) a teoretické úvahy. Pre veľké sústavy je rýchlejšia Gaussova eliminácia — počet determinantov rastie príliš rýchlo.
Riešime sústavu x + y = 3, 2x − y = 0. Klikaj a sleduj postup.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od vzorca 2×2 cez Laplaceov rozvoj a vlastnosti až po Cramerovo pravidlo.
Otestuj sa cez celú tému.