Kvadratická rovnica
Rovnica s neznámou v druhej mocnine — a jej tri tváre. Niektoré prípady vyriešiš rýchlejšie bez vzorca.
Kvadratická rovnica má tvar ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0. a je kvadratický, b lineárny a c absolútny člen.
Špeciálne prípady — rýchlejšie bez vzorca
Rýdzo kvadratická (b = 0)
Osamostatni x² a odmocni.
2x² − 8 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
Bez absolútneho člena (c = 0)
Vyber x pred zátvorku.
x² − 3x = 0 ⇒ x(x − 3) = 0 ⇒ x = 0, 3
Ak je súčin A · B = 0, tak aspoň jeden činiteľ je nula. Toto je základ riešenia rozkladom — využiješ ho aj nižšie (Viète, súčinové nerovnice).
Príklad — rýdzo kvadratická: 2x² − 8 = 0
Príklad — bez člena c: x² − 3x = 0
Diskriminant a vzorec
Jedno číslo, ktoré prezradí počet aj hodnotu koreňov — a tvar grafu.
D = b² − 4ac. Korene počítame vzorcom x = (−b ± √D) / (2a).
D > 0
dva rôzne reálne korene — parabola pretína os x dvakrát
D = 0
jeden (dvojnásobný) koreň — parabola sa osi dotýka
D < 0
žiadny reálny koreň — parabola os nepretne
Meň koeficienty a, b, c a sleduj diskriminant, korene aj graf naraz.
Príklad — x² − 5x + 6 = 0
Vietove vzťahy
Skratka, ktorá spája korene s koeficientmi. Pri pekných číslach nájdeš korene z hlavy.
Pre korene x₁, x₂ rovnice ax² + bx + c = 0 platí x₁ + x₂ = −b/a a x₁ · x₂ = c/a.
Z koreňov hneď napíšeš rozklad: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Napr. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Zadaj korene x₁, x₂ — uvidíš súčet, súčin, rovnicu aj rozklad.
Kvadratické nerovnice
Vyrieš ju pohľadom na parabolu — kde je nad osou (kladná) a kde pod ňou (záporná).
1. Nájdi korene (kde parabola pretína os x). 2. Načrtni parabolu (smer podľa znamienka a). 3. Odčítaj interval, kde má výraz správne znamienko.
Príklad — x² − 5x + 6 > 0
Pri a < 0 je parabola otvorená nadol — intervaly sa „prehodia". A pri D < 0 má výraz stále rovnaké znamienko (parabola os nepretne).
Súčinová a podielová nerovnica
Rozhodni podľa znamienok jednotlivých činiteľov. Nájdi nulové body, rozdeľ os na intervaly a v každom urči znamienko súčinu.
Zadaj nulové body a vyber znak nerovnice — uvidíš znamienka na intervaloch aj riešenie.
Pri (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 platí rovnaká tabuľka znamienok ako pri súčine, ale x = −2 treba vylúčiť (menovateľ ≠ 0).
Rovnice substitúciou
Zložitejšiu rovnicu preveď na kvadratickú zámenou premennej.
Ak sa v rovnici opakuje výraz φ(x), polož t = φ(x), vyrieš jednoduchšiu rovnicu a vráť sa späť k x.
Príklad — biqvadratická: x⁴ − 5x² + 4 = 0
Po vyriešení v premennej t sa vždy vráť k pôvodnej premennej a over podmienky (napr. t = x² ≥ 0 — záporné t zahodíš).
Iracionálne rovnice
Neznáma je pod odmocninou — a preto je skúška povinná.
1. Osamostatni odmocninu. 2. Umocni obe strany. 3. Vyrieš vzniknutú rovnicu. 4. Urob skúšku — umocnenie je dôsledková (nie ekvivalentná) úprava.
Príklad — √(x + 2) = x
Umocnenie môže priniesť cudzí koreň (riešenie umocnenej, ale nie pôvodnej rovnice). Bez skúšky by si odovzdal nesprávne riešenie.
Rovnice s absolútnou hodnotou
Zvislé čiary odstrániš rozlišovaním prípadov — a každý výsledok overíš proti podmienke prípadu.
|V(x)| = V(x) pre V(x) ≥ 0 a |V(x)| = −V(x) pre V(x) < 0. Rovnicu rieš v každom prípade zvlášť a over podmienku prípadu.
Príklad — |x − 3| = 2x
Korene a graf paraboly
Rovnica a obrázok hovoria to isté. Reálne korene rovnice ax² + bx + c = 0 sú práve x-ové súradnice priesečníkov paraboly y = ax² + bx + c s osou x.
D > 0
2 priesečníky s osou x
D = 0
1 dotyk (vrchol leží na osi)
D < 0
0 priesečníkov
Vráť sa k sekcii Diskriminant a pohni parabolou — uvidíš, ako počet priesečníkov sedí s diskriminantom. Vrchol a tvar paraboly preberieme v téme 9 (kvadratická funkcia).
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪