Kružnica

01 Základ

Čo je kružnica a čo kruh

Najprv si ujasníme pojmy: kružnica je čiara, kruh je plocha. A pomenujeme si časti, ktoré budeme stále používať.

Množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od stredu S rovnakú vzdialenosť r. Je to čiara (krivka).

Kruh

Kružnica spolu s vnútrom — celá vyplnená plocha. Kruh je ohraničený kružnicou.

Časti kružnice

Polomer r spája stred s bodom kružnice. Priemer d = 2r prechádza stredom. Tetiva spája dva body kružnice (najdlhšia tetiva je priemer).

Oblúk

Časť kružnice (čiary) medzi dvoma bodmi.

Kruhový výsek

Časť kruhu medzi dvoma polomermi a oblúkom — „kúsok torty".

Kruhová úseč

Časť kruhu medzi tetivou a oblúkom.

Poloha priamky Podľa počtu spoločných bodov s kružnicou: sečnica (2 body) · dotyčnica (1 bod) · nesečnica (0 bodov).

Otoč kartu — pojmy

Pomenuj základné pojmy.

Otestuj sa — pojmy

Kružnica, kruh, tetiva, dotyčnica.

02 Základ

Rovnica kružnice

Stredový tvar rovno prezradí stred aj polomer kružnice.

Stredový tvar

(x − m)² + (y − n)² = r²

Stred S[m, n], polomer r > 0.

Otestuj sa — rovnica kružnice

Napíš alebo prečítaj rovnicu.

03 Jadro témy

Všeobecný tvar a doplnenie na štvorec

Z „rozhádzaného" tvaru dostaneš stred a polomer doplnením na štvorec.

Všeobecný tvar

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Stred a polomer získame doplnením na štvorec: S[−D/2, −E/2], r = √[(D/2)² + (E/2)² − F].

Živá kalkulačka — stred a polomer

Zadaj D, E, F zo všeobecného tvaru.

Otestuj sa — všeobecný tvar

Urči stred a polomer.

04 Jadro témy

Vzájomná poloha bodu a kružnice

Či bod leží vnútri, na kružnici, alebo mimo, zistíš dosadením jeho súradníc do ľavej strany rovnice.

Dosadenie bodu

Dosadíš súradnice bodu do výrazu (x − m)² + (y − n)² a porovnáš s r²:

< r² → vnútri · = r² → na kružnici · > r² → mimo

Živá kalkulačka — bod a kružnica

Zadaj kružnicu S[m, n], r a bod [x, y].

Otestuj sa — bod a kružnica

Urči polohu bodu.

05 Jadro témy

Ako zostaviť rovnicu kružnice

Na zostavenie rovnice stačí poznať stred a polomer. Tie vieš dopočítať zo zadaných podmienok.

Stred a bod na kružnici

Polomer je vzdialenosť stredu od bodu: r = |SA|. Dosadíš S a r do stredového tvaru.

Priemer (krajné body A, B)

Stred S je stred úsečky AB, polomer r = |AB|/2.

Stred a dotyčnica p

Polomer je vzdialenosť stredu od priamky: r = d(S, p).

Tri body kružnice

Dosadíš ich do všeobecného tvaru → sústava 3 rovníc pre D, E, F.

Dôkaz krok za krokom — rovnica z priemeru

Priemer s krajnými bodmi A a B.

Otestuj sa — zostav rovnicu

Z podmienok nájdi stred a polomer.

06 Jadro témy

Obvod, obsah, oblúk a výsek

Dĺžka oblúka aj obsah výseku sú len zlomkom celého obvodu/obsahu podľa uhla.

Obvod a obsah

O = 2πr, S = πr²

Oblúk a výsek

l = r·α, S = ½r²α

(α v radiánoch)

Oblúk v stupňoch

l = (α° / 360°) · 2πr

Výsek v stupňoch

S = (α° / 360°) · πr²

Prevod a úseč Stupne na radiány: α(rad) = α° · π/180. Obsah kruhovej úseče: S = ½r²(α − sin α) (α v radiánoch).

Živá kalkulačka — oblúk a výsek

Zadaj polomer a uhol v stupňoch.

α (°)

Otestuj sa — obvod, obsah, oblúk

Vypočítaj metriky kruhu.

07 Planimetria

Stredový a obvodový uhol · Tálesova veta

Uhly nad tým istým oblúkom majú peknú vlastnosť: obvodový uhol je vždy polovica stredového.

Stredový uhol

Vrchol má v strede S kružnice. Zodpovedá mu oblúk medzi ramenami.

Obvodový uhol

Vrchol leží na kružnici, nad tým istým oblúkom (tetivou).

Vzťah uhlov Obvodový uhol je polovica stredového nad tým istým oblúkom: φ = α/2. Všetky obvodové uhly nad tou istou tetivou (v rovnakej polrovine) sú rovnaké.

Tálesova veta

Ak je úsečka AB priemerom kružnice, potom obvodový uhol pri ľubovoľnom bode C na kružnici je pravý (90°) — trojuholník ABC je pravouhlý.

Posuvník — stredový vs obvodový uhol

Meň stredový uhol a sleduj obvodový.

stredový α (°)

Otestuj sa — uhly

Stredový, obvodový, Táles.

08 Jadro témy

Vzájomná poloha priamky a kružnice

Vzdialenosť stredu od priamky rozhodne, či priamka kružnicu míňa, dotýka sa, alebo pretína.

Priamka a kružnica

Porovnaj vzdialenosť stredu od priamky d s polomerom r:

d > r nesečnica · d = r dotyčnica · d < r sečnica

Dotyčnica je kolmá na polomer v bode dotyku.

Priesečníky a diskriminant Priesečníky priamky a kružnice nájdeš dosadením priamky do rovnice kružnice → kvadratická rovnica. Diskriminant rozhodne: D > 0 dva body (sečnica) · D = 0 jeden bod (dotyčnica) · D < 0 žiadny (nesečnica).

Dôkaz krok za krokom — priesečníky

Priamka y = x + 1 a kružnica x² + y² = 25.

Otoč kartu — poloha priamky/kružníc

Over si vzájomné polohy.

Otestuj sa — vzájomná poloha

Priamka a kružnica, dve kružnice.

09 Jadro témy

Dotyčnica ku kružnici

Dotyčnica sa kružnice dotýka v jednom bode. Jej rovnicu v bode dotyku dostaneš „rozštiepením".

Dotyčnica v bode T (stred v počiatku)

x₀x + y₀y = r²

T[x₀, y₀] je bod dotyku na kružnici x² + y² = r².

Dotyčnica v bode T (stred S[m, n])

(x₀ − m)(x − m) + (y₀ − n)(y − n) = r²

Rozštiepenie V rovnici kružnice nahraď x² → x₀x, y² → y₀y (a každé samostatné x → (x + x₀)/2, y → (y + y₀)/2). Z vonkajšieho bodu vedú ku kružnici práve dve dotyčnice; priamka je dotyčnicou, ak d(S, p) = r.

Dôkaz krok za krokom — rovnica dotyčnice

Dotyčnica ku x² + y² = 25 v bode T[3, 4].

Otestuj sa — dotyčnica

Rovnica dotyčnice v bode.

10 Jadro témy

Vzájomná poloha dvoch kružníc

O polohe dvoch kružníc rozhodne vzdialenosť stredov d v porovnaní so súčtom a rozdielom polomerov.

Vzťah (d = \|S₁S₂\|)	Poloha	Spoločné body
d > r₁ + r₂	kružnice ležia vonkajšie	0
d = r₁ + r₂	vonkajší dotyk	1
\|r₁ − r₂\| < d < r₁ + r₂	pretínajú sa	2
d = \|r₁ − r₂\|	vnútorný dotyk	1
d < \|r₁ − r₂\|	jedna leží vnútri druhej	0
d = 0, r₁ ≠ r₂	sústredné (koncentrické)	0

Živá kalkulačka — dve kružnice

Zadaj stredy a polomery.

S₁x

S₁y

r₁

S₂x

S₂y

r₂

Otoč kartu — dve kružnice

Vzťah → poloha.

Otestuj sa — dve kružnice

Urči vzájomnú polohu.

11 Test

Záverečný kvíz

Dvanásť otázok cez celú tému — od definície a rovnice až po dotyčnicu a dve kružnice.

Záverečný kvíz — 12 otázok

Otestuj sa cez celú tému Kružnica.