Pravidlo súčinu a faktoriál
Základ kombinatoriky: násobíme počty možností jednotlivých krokov.
Pravidlo súčinu
m spôsobov × n spôsobov = m·n možností (po sebe idúce kroky).
Faktoriál
n! = 1·2·…·n, 0! = 1
Pri každej úlohe sa pýtaj: záleží na poradí? a opakujú sa prvky?
Spočítaj možnosti.
Pravidlo súčtu (a kedy ho použiť)
Keď sa možnosti navzájom vylučujú („buď – alebo"), ich počty sčítavame.
Pravidlo súčtu
Ak úlohu rozdelíš na navzájom sa vylučujúce prípady, výsledok je m + n.
Súčet vs. súčin
„a", „a potom" (kroky za sebou) → násobíš.
„buď – alebo" (jedna z alternatív) → sčítaš.
Musíš spraviť oba kroky → ×. Vyberáš si len jednu z možností → +.
Rozhodni, kedy sčítavaš a kedy násobíš.
Variácie, permutácie, kombinácie
Tri základné počty — líšia sa tým, či záleží na poradí a či sa prvky opakujú.
Vzorce
variácie: V(k,n) = n!/(n−k)!, V′ = nᵏ
permutácie: P(n) = n!, P′ = n!/(n₁!·…)
kombinácie: C(k,n) = n!/[k!(n−k)!], C′ = (ⁿ⁺ᵏ⁻¹ₖ)
Zadaj n a k a porovnaj variácie, kombinácie aj permutácie.
Vyber správny typ a hodnotu.
S opakovaním a bez opakovania
Pri každom type ešte rozhodni, či sa prvky smú opakovať. Toto je najčastejší zdroj chýb na maturite.
| Typ | Bez opakovania | S opakovaním |
|---|---|---|
| Variácie | V(k,n) = n!/(n−k)! | V′(k,n) = nᵏ |
| Permutácie | P(n) = n! | P′ = n!/(n₁!·n₂!·…) |
| Kombinácie | C(k,n) = (ⁿₖ) | C′(k,n) = (ⁿ⁺ᵏ⁻¹ₖ) |
S opakovaním: prvok smieš použiť viackrát (cifry v PINe).
Bez opakovania: každý prvok najviac raz (poradie bežcov).
Najprv poradie, potom opakovanie.
Vyber správny vzorec a hodnotu.
Rozpoznanie typu a kombinačné číslo
Najdôležitejšie je rozhodnúť, či ide o usporiadanie alebo výber.
Záleží na poradí?
áno → variácie / permutácie
nie → kombinácie
Vlastnosti (ⁿₖ)
(ⁿ₀) = 1, (ⁿ₁) = n
(ⁿₖ) = (ⁿₙ₋ₖ)
Záleží na poradí, alebo nie?
Použi vlastnosti.
Pascalov trojuholník
Rýchla pomôcka na kombinačné čísla — každé číslo je súčtom dvoch nad ním.
Ako vzniká
Okraje sú 1. Vnútorné číslo je súčet dvoch nad ním:
(ⁿₖ) = (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ)
Riadok n
obsahuje čísla (ⁿ₀), (ⁿ₁), …, (ⁿₙ) — to sú práve koeficienty rozvoja (a + b)ⁿ.
Súčet čísel v riadku n je 2ⁿ. Trojuholník je symetrický: (ⁿₖ) = (ⁿₙ₋ₖ).
Klikni na číslo — ukáže sa kombinačné číslo aj sčítacie pravidlo.
Použi trojuholník hore.
Binomická veta
Rozvoj mocniny dvojčlena (a + b)ⁿ pomocou kombinačných čísel.
Vzorec
(a + b)ⁿ = (ⁿ₀)aⁿ + (ⁿ₁)aⁿ⁻¹b + … + (ⁿₖ)aⁿ⁻ᵏbᵏ + … + (ⁿₙ)bⁿ
Všeobecný (k+1)-vý člen: Tₖ₊₁ = (ⁿₖ) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Koeficienty = riadok n Pascalovho trojuholníka. Exponent a klesá n→0, exponent b rastie 0→n, ich súčet je vždy n. Rozvoj má n + 1 členov.
Zadaj n a uvidíš koeficienty aj celý rozvoj.
Nájdi člen s x² v rozvoji (x + 3)⁵.
Členy, koeficienty, exponenty.
Rovnice s kombinačnými číslami a faktoriálmi
Rozpíš podľa definície, vyrieš kvadratickú rovnicu a over podmienky.
Postup
Skráť faktoriály alebo rozpíš (ⁿₖ) = n!/[k!(n−k)!], uprav na rovnicu, vyrieš a over podmienky.
Podmienky
Neznáma je prirodzené číslo. Vo (ⁿₖ) platí k ≤ n; vo faktoriáli n ≥ 0. Záporné a neceločíselné korene zahodíš.
Kombinačné číslo s neznámou.
Faktoriál s neznámou.
Vyrieš a over podmienky.
Typické maturitné slovné úlohy
Postup je vždy rovnaký: poradie? → opakovanie? → vyber vzorec → dosaď.
Skús najprv vyriešiť, potom otoč.
Úlohy so slovom „aspoň" sa často počítajú ako doplnok: (všetky možnosti) − (nechcené).
3-členná delegácia z 5 chlapcov a 4 dievčat, aspoň 1 dievča.
Rozpoznaj typ a spočítaj.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok cez celú kombinatoriku — od pravidiel súčtu a súčinu po binomickú vetu.
Otestuj sa cez celú kombinatoriku.