Primitívna funkcia a neurčitý integrál
Integrovať znamená hľadať funkciu, ktorej deriváciou je dané f(x).
Primitívna funkcia
F(x) je primitívna k f(x), ak F′(x) = f(x). Líšia sa o konštantu c.
Neurčitý integrál
∫ f(x) dx = F(x) + c
Opačná operácia k derivovaniu.
Over, čo je primitívna funkcia.
Tabuľka integrálov a pravidlá
Pár základných integrálov plus súčet a konštanta zvládnu väčšinu úloh.
Mocninové a základné
∫ k dx = kx + c
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c, n ≠ −1
∫ 1/x dx = ln|x| + c
∫ eˣ dx = eˣ + c
∫ aˣ dx = aˣ/ln a + c
Goniometrické
∫ sin x dx = −cos x + c
∫ cos x dx = sin x + c
∫ 1/cos²x dx = tg x + c
∫ 1/sin²x dx = −cotg x + c
Každý výsledok si over tak, že ho zderivuješ — musíš dostať pôvodné f(x). Napr. (sin x + c)′ = cos x ✓, (ln|x| + c)′ = 1/x ✓
Over si neurčité integrály.
Vyber správny integrál.
Pravidlá integrovania (linearita)
Zložitejší integrál rozdelíme na jednoduché — integrál je lineárny.
Súčet a rozdiel
∫ (f ± g) dx = ∫ f dx ± ∫ g dx
Integrujeme člen po člene.
Konštanta
∫ k·f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
Konštantu vyberieme pred integrál.
Súčin ani podiel sa takto rozdeliť nedá: ∫ f·g dx ≠ ∫f · ∫g. Na súčiny slúži per partes, na zložené funkcie substitúcia.
Rozdelíme, vyberieme konštanty, integrujeme.
Integruj člen po člene.
Metóda per partes
Na integrál súčinu dvoch rôznych typov funkcií — napr. polynóm × eˣ, sin x alebo ln x.
Vzorec
∫ u·v′ dx = u·v − ∫ u′·v dx
Vychádza z derivácie súčinu (u·v)′ = u′v + uv′. Jeden činiteľ označíme u (ten budeme derivovať), druhý v′ (ten integrujeme).
Za u volíme to, čo sa derivovaním zjednoduší — zvyčajne polynóm (x, x²…). Pri ln x volíme za u práve ln x. Cieľ: nový integrál ∫u′·v má byť ľahší než pôvodný.
Voľba u a v′, dosadenie do vzorca.
Typické per partes integrály.
Vzorec a voľba u.
Substitučná metóda
Zavedieme novú premennú t, ktorá zložený integrál premení na jednoduchý z tabuľky.
Princíp
∫ f(g(x))·g′(x) dx = ∫ f(t) dt
Položíme t = g(x), dt = g′(x) dx. Po zintegrovaní sa vrátime k pôvodnej premennej x.
Lineárna substitúcia
∫ f(ax + b) dx = (1/a)·F(ax + b) + c
Najčastejší prípad — vnútri je ax + b.
Na konci sa vždy vráť k x — dosadíš späť t = g(x). Pri určitom integráli buď prepočítaj medze na t, alebo sa vráť k x a dosadíš pôvodné medze.
Substitúcia t = x² + 1.
Typické substitúcie.
Zvoľ správnu substitúciu a výsledok.
Určitý integrál
Určitý integrál priradí funkcii na intervale ⟨a, b⟩ jedno číslo — orientovaný obsah medzi grafom a osou x. Počítame ho Newton-Leibnizovou formulou.
Čo je určitý integrál (integrálny súčet)
Plochu pod grafom rozdelíme na úzke obdĺžniky, ich obsahy sčítame a delenie postupne zjemňujeme. Limita týchto súčtov je určitý integrál:
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δx
Newton-Leibnizova formula
Stačí nájsť ľubovoľnú primitívnu funkciu F a dosadiť medze:
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)
∫ₐᵃ f = 0 ∫ₐᵇ f = −∫ᵦᵃ f ∫ₐᵇ (f ± g) = ∫ₐᵇ f ± ∫ₐᵇ g ∫ₐᵇ k·f = k·∫ₐᵇ f ∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫ᵦᶜ f
Vypočítajme ∫₁³ (x² + 2) dx.
Vypočítaj cez Newton-Leibniz.
Obsah plochy
Najkrajšia aplikácia integrálu — obsah plochy ohraničenej grafmi.
Obsah plochy
pod krivkou: S = ∫ₐᵇ f(x) dx
medzi krivkami: S = ∫ₐᵇ (horná − dolná) dx
Vypočítaj obsah.
Objem rotačného telesa
Keď útvar pod grafom y = f(x) rotuje okolo osi x, vznikne rotačné teleso — jeho objem dáva integrál.
Vzorec
V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Tenký rez je valec s polomerom f(x) a hrúbkou dx, teda objem π·f(x)²·dx — a tie sčítame integrálom.
Rotácia okolo osi x
Ak teleso vznikne medzi hornou a dolnou krivkou (obe rotujú okolo osi x): V = π ∫ₐᵇ ([horná]² − [dolná]²) dx
Vznikne kužeľ — overíme aj vzorcom V = ⅓πr²h.
Vzorec a výpočet objemu.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok cez celý integrálny počet — od primitívnej funkcie po objem rotačného telesa.
Otestuj sa cez celý integrálny počet.