Základné identity
Identita platí pre každé prípustné x. Sú to stavebné kamene všetkých úprav a dôkazov v celej goniometrii — pomocou nich prepíšeš výraz na „jednu funkciu“.
Vzťahy medzi funkciami
tg x = sin x / cos x
cotg x = cos x / sin x
tg x · cotg x = 1
Odvodené z hlavnej identity
1 + tg²x = 1 / cos²x
1 + cotg²x = 1 / sin²x
vydelením sin² + cos² = 1 výrazom cos²x, resp. sin²x
Ak máš rovnicu, kde sa miešajú funkcie, nahraď napr. cos²x = 1 − sin²x a celá rovnica bude len v sin x. Jedna funkcia = jednoduchšie riešenie.
Klikaj a odhaľuj kroky.
Posúvaj uhol a sleduj, že súčet sin²x + cos²x je vždy rovný 1 — to je celá hlavná identita na jednom obrázku.
Klikni správnu odpoveď. Po odpovedi uvidíš vysvetlenie.
Súčtové vzorce
Súčtové vzorce vyjadrujú funkciu súčtu / rozdielu uhlov pomocou funkcií jednotlivých uhlov. Sú kľúčom k presným hodnotám ako cos 75°.
Pri cos sa znamienko obracia — cos(α+β) má medzi súčinmi mínus. Pri sin ostáva rovnaké. Toto je najčastejšia chyba — nauč sa to ako dvojicu.
Vyber dva uhly a sleduj, ako súčtový vzorec presne dá funkciu ich súčtu. Over si, že to sedí s priamou hodnotou.
Znamienka a presné hodnoty.
Dvojnásobný a polovičný uhol
Dosadením β = α do súčtových vzorcov dostaneme vzorce pre dvojnásobný uhol. Otočením prídu vzorce na zníženie stupňa.
Dvojnásobný uhol
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α − sin²α
= 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
tg 2α = 2 tg α / (1 − tg²α)
Zníženie stupňa
sin²α = (1 − cos 2α) / 2
cos²α = (1 + cos 2α) / 2
užitočné pri úprave mocnín
Vyber tú verziu, čo necháva výraz len v jednej funkcii: máš všade sin → použi 1 − 2sin²α; máš cos → použi 2cos²α − 1.
Posúvaj uhol α. Všetky tri zápisy cos 2α dávajú presne to isté číslo — sú len inak prepísané.
Vzorce a dosadenie.
Goniometrické rovnice
Cieľom je previesť rovnicu na základný tvar (sin x = a, cos x = a, tg x = a). Existujú tri spoľahlivé postupy.
Jedna funkcia
Identitou prepíš všetko na sin (alebo cos).
Substitúcia
Polož t = sin x a rieš kvadratickú rovnicu.
Rozklad na súčin
Vyber spoločný činiteľ, využi pravidlo „súčin = 0“.
V rovnici so sin²x aj cos x nahraď sin²x = 1 − cos²x. Dostaneš kvadratickú rovnicu len v cos x, ktorú dorieš substitúciou.
Klikaj a odhaľuj kroky.
Postupy a riešenia.
Goniometrické nerovnice
Nerovnicu riešime najlepšie graficky alebo na jednotkovej kružnici: nájdeme hraničné uhly (z rovnice) a z obrázka určíme, kde funkcia spĺňa podmienku.
1 · Hranice
Vyrieš príslušnú rovnicu — to sú hranice intervalov.
2 · Náčrt
Načrtni kružnicu/graf a vyznač, kde platí nerovnosť.
3 · Zápis
Zapíš interval(y) a nezabudni na periódu.
Vyber funkciu a smer nerovnosti, posúvaj hranicu. Zelený oblúk ukazuje, kde nerovnosť platí. Predvolené sin x ≥ 0,5 dá presne ⟨30°, 150°⟩.
Riešiť nerovnicu „v hlave“ bez obrázka. Bez náčrtu ľahko vynecháš časť intervalu alebo zameníš smer nerovnosti v zápornej oblasti.
Intervaly a náčrty.
Sínusová veta
Pomer strany a sínusu protiľahlého uhla je v každom trojuholníku stály — a rovná sa priemeru opísanej kružnice.
Keď poznáš stranu a jej protiľahlý uhol a ešte jeden údaj: dve strany a uhol oproti jednej (Ssu), alebo dva uhly a stranu (uus). Z troch členov rovnosti vždy dopočítaš chýbajúci.
Zadaj stranu a a dva uhly α, β. Lab dopočíta γ, strany b, c a nakreslí trojuholník v správnom pomere.
Kedy a ako ju použiť.
Kosínusová veta
Zovšeobecnenie Pytagorovej vety na ľubovoľný trojuholník. Člen −2ab·cos γ je „oprava“ pre nepravouhlý prípad.
Ak γ = 90°, je cos γ = 0 a vzorec prejde na c² = a² + b². Vyskúšaj to v labe nižšie — pri 90° opravný člen zmizne.
Posúvaj uhol γ medzi stranami a, b. Pri 90° sa člen 2ab·cos γ vynuluje a c sa rovná Pytagorovmu √(a²+b²).
Keď poznáš tri strany (sss → dopočítaš uhol) alebo dve strany a uhol medzi nimi (sus → dopočítaš tretiu stranu).
sss, sus a Pytagoras.
Obsah trojuholníka
Ak poznáš dve strany a uhol medzi nimi, obsah spočítaš priamo goniometricky. Z troch strán pomôže Heronov vzorec.
Goniometricky
S = ½ ab sin γ
S = ½ bc sin α
S = ½ ac sin β
γ je uhol zovretý stranami a, b
Heronov vzorec
S = √( s(s−a)(s−b)(s−c) )
kde s = (a + b + c)/2 je polovičný obvod
Výška na stranu a je v⍺ = b·sin γ, takže S = ½·a·v⍺ prejde presne na S = ½·ab·sin γ. Je to len obsah vyjadrený cez uhol.
Meň strany a uhol. Obsah je najväčší pri γ = 90° (vtedy sin γ = 1) a klesá k nule, keď sa trojuholník „splošťuje“.
Goniometricky aj Heronom.
Riešené príklady
Prierez celou témou — od identít po trojuholník. Klikni na kartu a otoč ju, alebo si rozbaľ postup krok po kroku.
Klik = otočenie karty. Najprv si skús vybaviť vzorec, potom over.
Rozlož 75° na známe uhly.
a = 7, b = 5, γ = 60°. Nájdi c.
1 − cos²x = sin²x · cos 2α (cos α = 4/5) = 7/25 · 2 sin x − 1 = 0 → x = π/6, 5π/6 · obsah (a = 8, b = 6, γ = 90°) = 24.
Otestuj sa z celej témy
Desať otázok cez identity, vzorce, rovnice, nerovnice aj riešenie trojuholníka. Po každej odpovedi uvidíš vysvetlenie.
Otestuj sa naprieč celou témou. Veľa šťastia!