Definícia a kvocient
Geometrická postupnosť sa stále násobí tým istým číslom — kvocientom q.
Definícia
Každý ďalší člen vznikne vynásobením stálym kvocientom q (q ≠ 0):
aₙ₊₁ = aₙ · q
Podľa q
q > 1 rastie · 0 < q < 1 klesá · q < 0 osciluje · q = 1 konštantná.
Vyššie platí pre a₁ > 0. Pri a₁ < 0 sa rast a klesanie vymenia (napr. a₁ = −1, q = 2 dáva −1, −2, −4, … ⇒ klesá do −∞). Pri q < 0 členy striedajú znamienko a podľa |q| ich absolútna hodnota rastie alebo klesá.
Je to geometrická postupnosť?
n-tý člen
Mocnina kvocientu nás dostane ku ktorémukoľvek členu.
n-tý člen
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
Spojenie dvoch členov
aᵣ = aₛ · qʳ⁻ˢ
Z aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ dostaneme qⁿ⁻¹ = aₙ/a₁ a logaritmujeme: n = 1 + log(aₙ/a₁)/log q. Pri „pekných" mocninách stačí porovnať exponenty: napr. 3·2ⁿ⁻¹ = 192 ⇒ 2ⁿ⁻¹ = 64 = 2⁶ ⇒ n = 7.
Mení a₁, q, n a sleduj členy, aₙ aj súčet sₙ.
Dané: a₂ = 6, a₅ = 48. Nájdi kvocient q a prvý člen a₁.
Dopočítaj člen alebo kvocient.
Geometrický priemer susedných členov
Obdoba aritmetického priemeru — ale cez násobenie a odmocninu.
Druhá mocnina člena je súčin susedov: aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁, teda |aₙ| = √(aₙ₋₁·aₙ₊₁). Tri členy GP šikovne zapíšeme ako a/q, a, a·q.
Vložiť medzi a a b ešte k členov tak, aby vznikla GP: spolu je k + 2 členov, takže b = a·q^(k+1), odkiaľ q = (b/a)^(1/(k+1)).
Vlož medzi 2 a 32 tri čísla tak, aby vznikla GP.
Využi geometrický priemer.
Súčet prvých n členov
Konečný súčet geometrickej postupnosti spočítame jedným vzorcom — pozor na prípad q = 1.
Súčet prvých n členov
sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) (q ≠ 1)
sₙ = a₁·n (q = 1)
Vtedy je menovateľ nulový — súčet je jednoducho n rovnakých členov.
Ak |q| < 1 a sčítavame všetky členy, súčet sa „ustáli" na konečnej hodnote — to je nekonečný geometrický rad (téma 19): s = a₁/(1 − q).
Sporíš: 1. mesiac 2 €, každý ďalší mesiac dvojnásobok. Koľko našetríš za 8 mesiacov?
Spočítaj súčet členov.
Rast, úbytok a úročenie
Geometrická postupnosť modeluje všetko, čo rastie alebo klesá o stále percento.
Rast / úbytok
Nₙ = N₀·(1 ± p/100)ⁿ
Geometrická postupnosť s kvocientom (1 ± p/100).
Zložené úročenie
1000 € pri 4 % po 3 rokoch: 1000·1,04³ = 1124,86 €.
Mení vklad N₀, úrok p % a počet rokov n.
Rast, úbytok a tri členy.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok od kvocientu cez riešené príklady po zložené úročenie.
Cez celú tému — vrátane úročenia.