Funkcia, definičný obor a obor hodnôt
Funkcia každému x priradí práve jedno y. Tú istú funkciu vieš zapísať tromi spôsobmi.
Definičný obor D(f)
Množina všetkých dovolených x.
Obor hodnôt H(f)
Množina všetkých y, ktoré funkcia nadobúda.
Spôsoby zadania — tá istá funkcia, tri pohľady
Rovnicou (predpis)
f(x) = 2x + 1
Grafom
krivka v súradnicovej sústave
Tabuľkou
dvojice x → y
Vylúč zakázané hodnoty (rovnako ako pri výrazoch): menovateľ ≠ 0, párna odmocnina ≥ 0, argument logaritmu > 0.
Vyber typ funkcie a posuň hranicu a — hneď uvidíš D(f) aj pravidlo, prečo.
Graf a priesečníky
Rovnica a obrázok hovoria to isté. Graf funkcie je množina bodov [x, f(x)] v rovine.
Obrázok je grafom funkcie práve vtedy, keď ho každá zvislá priamka pretne najviac raz (jednému x zodpovedá jediné y).
Priesečník s osou y
dosadíš x = 0 → bod [0, f(0)]
Nulové body (os x)
riešiš f(x) = 0 → body [x, 0]
Priesečníky grafov y = f(x) a y = g(x) nájdeš riešením rovnice f(x) = g(x) (súradnicu y dopočítaš dosadením).
Príklad — priesečník y = 2x + 1 a y = x + 3
Monotónnosť a prostota
Rastie, klesá — a kedy sa hodnoty neopakujú.
Rastúca
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)
graf stúpa zľava doprava
Klesajúca
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂)
graf klesá
Funkcia môže byť monotónna len na časti definičného oboru — preto určujeme intervaly monotónnosti (napr. parabola vľavo klesá, vpravo rastie).
Funkcia je prostá, ak rôznym x priradí rôzne y (x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)). Overíš ju testom vodorovnou priamkou. Každá rýdzo monotónna funkcia je prostá.
Párnosť a symetria
Symetria grafu sa dá prečítať z predpisu — dosadením −x.
Párna funkcia
f(−x) = f(x)
graf súmerný podľa osi y · napr. x², |x|, cos x
Nepárna funkcia
f(−x) = −f(x)
graf súmerný podľa bodu [0,0] · napr. x³, x, sin x
Vyber funkciu — dosadíme −x a porovnáme s f(x) aj −f(x).
Príklad — over párnosť f(x) = x³ − x
Väčšina funkcií nie je ani párna, ani nepárna. Párnosť/nepárnosť over dosadením −x, nie odhadom z grafu.
Ohraničenosť, extrémy a periodickosť
Kde sú „stropy a podlahy" a čo sa pravidelne opakuje.
Ohraničená zhora
existuje horné ohraničenie (žiadne y ho neprekročí)
Ohraničená zdola
existuje dolné ohraničenie
Maximum (minimum) je najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie. Lokálny extrém je najväčšia/najmenšia hodnota len v okolí bodu — funkcia ich môže mať viac.
Funkcia je periodická s periódou p, ak f(x + p) = f(x) pre všetky x. Typické sú goniometrické funkcie (sin, cos majú periódu 2π).
Transformácie grafu
Z grafu f(x) získaš ďalšie grafy posunmi a preklopeniami — bez tabuľky hodnôt.
| Predpis | Čo sa stane s grafom f(x) |
|---|---|
| f(x) + a | posun nahor o a (nadol pre a < 0) |
| f(x + a) | posun vľavo o a (vpravo pre a < 0) |
| −f(x) | preklopenie podľa osi x |
| |f(x)| | záporná časť sa preklopí nad os x |
| a · f(x) | zvislé natiahnutie (|a| > 1) / stlačenie |
Vyber základný graf a hraj sa s posunmi a preklopením — bledý je pôvodný f(x), výrazný je výsledok.
Ak poznáš základný graf (parabola, „véčko" |x|, exponenciála…), transformáciami rýchlo načrtneš jeho posunuté varianty. Napr. y = (x − 2)² + 1 je parabola s vrcholom [2, 1].
Inverzná funkcia
Funkcia naopak — vráti, čo pôvodná priradila.
Ak je f prostá, existuje inverzná funkcia f⁻¹, pre ktorú f⁻¹(f(x)) = x. Definičný a obor hodnôt sa vymenia: D(f⁻¹) = H(f), H(f⁻¹) = D(f).
1. Z y = f(x) vyjadri x. 2. Zameň x ↔ y. 3. Zapíš y = f⁻¹(x).
Príklad — f(x) = 2x + 1
Grafy f a f⁻¹ sú navzájom súmerné podľa priamky y = x. Túto myšlienku využiješ pri logaritme ako inverznej k exponenciále (téma 11).
Zložená funkcia
Funkcia vo funkcii — výstup jednej je vstupom druhej.
Zložená funkcia (f ∘ g)(x) = f(g(x)): najprv aplikuješ vnútornú funkciu g, jej výsledok dosadíš do vonkajšej f.
Zvoľ f, g a vstup x. Porovnaj f(g(x)) a g(f(x)).
Príklad — f(x) = x², g(x) = x + 1
Skladanie funkcií je presne to, čo robíš pri substitúcii v rovniciach (téma 7) — vnútornú funkciu nahradíš novou premennou.
Elementárne funkcie
Rýchla mapa funkcií, ktoré ťa na maturite čakajú.
| Funkcia | Predpis | Graf |
|---|---|---|
| Lineárna | y = kx + q | priamka |
| Kvadratická | y = ax² + bx + c | parabola |
| Lineárna lomená | y = k/x | hyperbola |
| Exponenciálna | y = aˣ | rastúca/klesajúca krivka |
| Goniometrické | sin x, cos x | periodická vlna |
Lineárnu a kvadratickú rozoberieme v téme 9, exponenciálnu a logaritmickú v témach 10–11, goniometrické v téme 12. Vlastnosti z tohto dielu (D, H, monotónnosť, párnosť, transformácie) budeš používať pri každej z nich.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪