Definícia a diferencia
Aritmetická postupnosť rastie (či klesá) stále o to isté — o diferenciu d.
Definícia
Každý ďalší člen vznikne pripočítaním stálej diferencie d:
aₙ₊₁ = aₙ + d
Podľa znamienka d
d > 0 rastúca · d < 0 klesajúca · d = 0 konštantná.
Je to aritmetická postupnosť?
n-tý člen
Z prvého člena a diferencie vyjadríme ktorýkoľvek člen bez vypisovania celej postupnosti.
n-tý člen
aₙ = a₁ + (n − 1)·d
Spojenie dvoch členov
aᵣ = aₛ + (r − s)·d
Hodí sa, keď nepoznáš a₁.
Z aₙ = a₁ + (n − 1)d vyjadríme poradie: n = (aₙ − a₁)/d + 1. Vzorec sa dá prepísať na aₙ = d·n + (a₁ − d) — je to lineárna funkcia premennej n, preto body postupnosti ležia na priamke so smernicou d.
Mení hodnoty a₁, d, n a sleduj členy, aₙ aj súčet sₙ.
Dané: a₃ = 7, a₈ = 22. Nájdi diferenciu d a prvý člen a₁.
Dopočítaj člen.
Aritmetický priemer susedných členov
Charakteristická vlastnosť: prostredný z troch po sebe idúcich členov leží presne v strede.
Každý člen (okrem prvého) je priemerom susedov: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Tri čísla sú v aritmetickej postupnosti práve vtedy, keď prostredné je priemerom krajných.
Tri členy AP šikovne zapíšeme ako a − d, a, a + d (ich súčet je 3a). Vložiť medzi a a b ešte k členov tak, aby vznikla AP: spolu k + 2 členov, takže b = a + (k + 1)·d, odkiaľ d = (b − a)/(k + 1).
Vlož medzi 2 a 14 tri čísla tak, aby vznikla AP.
Využi vzťah priemeru.
Súčet prvých n členov
Slávny Gaussov trik: dvojice od kraja majú rovnaký súčet.
Súčet prvých n členov
sₙ = (n/2)·(a₁ + aₙ) = (n/2)·[2a₁ + (n − 1)d]
Prečo platí sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)?
Koľko členov postupnosti 4, 7, 10, … treba sčítať, aby súčet bol 175?
Spočítaj súčet členov.
Slovné úlohy a jednoduché úročenie
Aritmetická postupnosť modeluje všetko, čo pribúda či ubúda o stále rovnaký diel — rady sedadiel, splátky aj jednoduché úročenie.
Rady a sedadlá
1. rad a₁ miest, každý ďalší o d viac → počty v radoch tvoria AP, celkový počet je súčet sₙ.
Jednoduché úročenie
Kₙ = K₀·(1 + n·p/100)
Úrok sa stále počíta z istiny → zostatok rastie aritmeticky (na rozdiel od zloženého).
Lineárny rast / splátky
Rovnaké splátky, rovnomerné pribúdanie či ubúdanie zásob — všetko sú aritmetické postupnosti.
1) Urči, čo tvorí AP (počty, sumy, dĺžky). 2) Nájdi a₁ a d. 3) Použi aₙ pre konkrétny člen alebo sₙ pre súčet. 4) Keď hľadáš počet n, dostaneš lineárnu (z aₙ) alebo kvadratickú (zo sₙ) rovnicu.
Mení istinu K₀, úrok p % a počet rokov n (úrok stále z istiny).
V 1. rade je 18 sedadiel, každý ďalší rad má o 2 viac. Koľko sedadiel je v 12 radoch?
Aplikuj aₙ a sₙ na reálne situácie.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok od definície cez riešené príklady po súčet a slovné úlohy.
Cez celú tému — vrátane slovných úloh.