Materiály / Vzorce

Matematické Vzorce

Tvoj ultimátny ťahák. Všetky dôležité vzorce na jednom mieste, prehľadne a bez zbytočných rečí.

Algebra Goniometria Planimetria (2D) Stereometria (3D) Analytická geom. Postupnosti Kombinatorika Finančná mat. Základy derivácií

Algebra a rovnice

  • Kvadratická rovnica (Diskriminant)
    D = b² - 4ac

    Korene: x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

  • Vietove vzorce
    x₁ + x₂ = -b/a  |  x₁ · x₂ = c/a

    Rýchle hľadanie koreňov normovanej rovnice x² + px + q = 0.

  • Mocniny a odmocniny
    aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ  |  (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ
  • Logaritmy
    logₐ(x·y) = logₐx + logₐy  |  logₐ(xⁿ) = n·logₐx
  • Binomické vzorce
    (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
    (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
  • Rozdiel štvorcov a kubov
    a² - b² = (a - b)(a + b)
    a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Goniometria

  • Základné goniometrické vzťahy
    sin²α + cos²α = 1
    tg α = sin α / cos α
  • Súčtové vzorce
    sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
    cos(α±β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
  • Sínusová veta
    a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R

    Použije sa, ak poznáš stranu a protiľahlý uhol.

  • Kosínusová veta
    c² = a² + b² - 2ab·cos γ

    Zovšeobecnená Pytagorova veta pre akýkoľvek trojuholník.

Planimetria (2D)

  • Pytagorova veta
    a² + b² = c²

    Platí v každom pravouhlom trojuholníku (c je prepona).

  • Obvod a obsah kruhu
    O = 2πr  |  S = πr²
  • Obsah trojuholníka
    S = (a · vₐ) / 2
    S = 1/2 · a · b · sin γ
  • Obsah lichobežníka
    S = ((a + c) · v) / 2

Stereometria (3D)

  • Objem a povrch gule
    V = 4/3 πr³  |  S = 4πr²
  • Objem a povrch valca
    V = πr²v  |  S = 2πr(r + v)
  • Objem ihlanu a kužeľa
    V = 1/3 Sₚv

    Sₚ je obsah podstavy, v je výška telesa.

  • Kocka a kváder (Objem)
    V(kocka) = a³  |  V(kváder) = a·b·c

Analytická geometria

  • Vzdialenosť dvoch bodov
    |AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
  • Stred úsečky
    S = [(x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2]
  • Rovnice priamky v rovine
    Všeobecná: ax + by + c = 0
    Smernicová: y = kx + q
  • Skalárny súčin vektorov
    u · v = u₁v₁ + u₂v₂
    u · v = |u| · |v| · cos φ

Postupnosti

  • Aritmetická postupnosť
    aₙ = a₁ + (n-1)d

    Súčet n-členov: sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)

  • Geometrická postupnosť
    aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

    Súčet n-členov (q ≠ 1): sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1)

Kombinatorika a pravdep.

  • Faktoriál a Permutácie
    P(n) = n! = n · (n-1) · ... · 1
  • Kombinačné číslo (n nad k)
    C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
  • Pravdepodobnosť
    P(A) = m / n

    m = priaznivé výsledky, n = všetky možné výsledky.

Finančná matematika

  • Zložené úrokovanie
    Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ

    K₀ = počiatočný vklad, p = ročná úroková miera (%), n = počet rokov.

  • Jednoduché úrokovanie
    u = K₀ · (p/100) · t

Základy derivácií

  • Derivácia mocniny
    (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹

    Napríklad: (x³)' = 3x²

  • Derivácia súčtu a rozdielu
    (u ± v)' = u' ± v'
  • Základné goniometrické derivácie
    (sin x)' = cos x
    (cos x)' = -sin x