Čo je výrok
Výrok je oznamovacia veta, o ktorej má zmysel rozhodnúť, či je pravdivá, alebo nepravdivá — a platí práve jedna z možností.
Každému výroku priradíme práve jedno z dvoch čísel — jeho pravdivostnú hodnotu: P(V) = 1 (pravdivý) alebo P(V) = 0 (nepravdivý). Výroky značíme veľkými písmenami A, B, C…
Sú výroky
„7 je prvočíslo." → 1
„5 > 3" → 1
„Paríž je hlavné mesto Talianska." → 0
Nie sú výroky
Otázka: „Koľko je hodín?"
Rozkaz: „Zatvor dvere!"
Výroková forma: „x > 5"
Veta s premennou (napr. x + 1 = 3) nie je výrok — jej pravdivosť závisí od dosadenej hodnoty. Výrokom sa stane až po dosadení čísla alebo po uzavretí kvantifikátorom: ∀x∈ℝ: x + 1 = 3.
Veta môže byť výrokom, aj keď ∀ nie je napísané — ak sa myslí všeobecne. „Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°" je pravdivý výrok o všetkých trojuholníkoch. „Súčin je komutatívny" znamená ∀a,b: a·b = b·a.
Rozhodni pri každej vete. Hneď uvidíš vysvetlenie.
Typy tvrdení
Tvrdenia sa líšia mierou „dokázanosti" — od domnienky až po dokázanú vetu.
Hypotéza
Pravdivosť zatiaľ nepoznáme. „Na Marse je život."
Axióma
Pokladáme za zrejmé, nedokazujeme, P = 1 vždy. „Dvoma bodmi prechádza práve jedna priamka."
Definícia
Presné vymedzenie nového pojmu. „Prvočíslo je číslo > 1 deliteľné len 1 a sebou."
Veta (tvrdenie)
Výrok, ktorý treba dokázať. Napr. Pytagorova veta.
Ku ktorému typu patrí?
Negácia výroku
Negácia popiera tvrdenie výroku. Značíme ¬V alebo V′. Vždy obráti pravdivostnú hodnotu.
P(¬V) = 1 − P(V) · ¬(¬V) = V — dvojitá negácia je návrat k pôvodnému výroku.
Klikni na výrok — negácia mu vždy preklopí hodnotu. Klikni znova (dvojitá negácia) a si späť.
V: „Mám červený sveter." → ¬V: „Nemám červený sveter."
¬V: „Mám modrý sveter." — to je len iná možnosť, nie popretie pôvodného výroku.
Negácia množstva a kvantifikátorov
Tieto dvojice sa oplatí naučiť naspamäť — sú základom dôkazu sporom.
| Výrok | Negácia |
|---|---|
| Každý … je … | → Aspoň jeden … nie je … |
| Aspoň jeden … je … | → Ani jeden (žiaden) … nie je … |
| Aspoň dva sú … | → Najviac jeden je … |
| Aspoň n … | → Najviac (n − 1) … |
| Práve n … | → Najviac (n − 1) alebo aspoň (n + 1) … |
Klikni na kartu a over si, či poznáš správnu negáciu.
Pri dôkaze prepíš výrok do kladnej, konkrétnej podoby. Inak sa s negáciou ďalej nepohneš.
Spojky a pravdivostná tabuľka
Pravdivosť zloženého výroku závisí len od pravdivostných hodnôt jeho zložiek. Štyri základné spojky:
Konjunkcia „a"
Pravdivá len keď platia oba. „Mrzne a sneží."
Disjunkcia „alebo"
Pravdivá keď platí aspoň jeden. „Prší alebo sneží."
Implikácia „ak…tak"
Nepravdivá len keď A platí a B nie. „Ak prší, je mokro."
Ekvivalencia „práve vtedy"
Pravdivá keď majú rovnakú hodnotu.
Prepni hodnoty A a B a sleduj, ako sa menia všetky zložené výroky. Riadok v tabuľke sa zvýrazní.
∧ pravdivá len v 1. riadku · ∨ nepravdivá len v poslednom · ⇒ nepravdivá len v 2. riadku (1⇒0) · ⇔ pravdivá keď sa A a B rovnajú.
Matematické ∨ je nevylučovacie: platí pri A, pri B aj pri oboch. Nepravdivé je len keď neplatí ani jedno. (Bežné „čaj alebo kávu?" býva vylučovacie.)
⇒ je jednosmerná („deliteľné 4 ⇒ párne", opačne nemusí). ⇔ je obojsmerná: A⇔B ⇔ (A⇒B) ∧ (B⇒A).
Implikácia podrobne
Kľúč: A ⇒ B je nepravdivá jedine keď A platí a B neplatí. Inak (vrátane nepravdivého A) je pravdivá — „z nepravdy vyplýva čokoľvek".
Prepni, či prší (A) a či je mokro (B). Sleduj, kedy je sľub porušený.
Obmena, obrátená — nezamieňať!
Prepni A a B. Obmena sa s pôvodnou implikáciou zhoduje v každom riadku — obrátená nie.
Nutná a postačujúca podmienka
Tá istá implikácia povedaná jazykom podmienok — typická maturitná otázka. Pre A ⇒ B:
A je postačujúca pre B
Ak platí A, určite platí aj B. (Stačí, aby nastalo A.)
B je nutná pre A
Bez B nemôže platiť A. Pri A ⇔ B je A pre B nutná aj postačujúca.
„Ak je číslo deliteľné 4, je párne." Deliteľnosť 4 je postačujúca pre párnosť; párnosť je nutná pre deliteľnosť 4, ale nestačí (6 je párne, no nedeliteľné 4).
Negácia zložených výrokov — De Morgan
Ako znegovať zložený výrok? Štyri pravidlá, ktoré treba ovládať:
Konjunkcia
(A ∧ B)′ ⇔ ¬A ∨ ¬B
Disjunkcia
(A ∨ B)′ ⇔ ¬A ∧ ¬B
Implikácia
(A ⇒ B)′ ⇔ A ∧ ¬B
Ekvivalencia
(A ⇔ B)′ ⇔ (A∧¬B) ∨ (B∧¬A)
Pri ∧/∨ sa spojka preklopí (∧↔∨) a každá zložka sa zneguje. Implikáciu negujeme: ponecháme A, znegujeme B (lebo ⇒ je nepravdivá len v prípade 1⇒0).
Vyber zložený výrok. Ukáže sa jeho negácia — a tabuľka overí, že ¬(pôvodný) sa zhoduje s negáciou v každom riadku.
Tautológia a kontradikcia
Tautológia
Vždy pravdivá — P = 1 v každom riadku. A ∨ ¬A „Prší alebo neprší."
Kontradikcia
Vždy nepravdivá — P = 0 v každom riadku. A ∧ ¬A „Prší a zároveň neprší."
Prepínaj A — nech robíš čokoľvek, A ∨ ¬A ostane 1 a A ∧ ¬A ostane 0.
Každý platný úsudok aj korektný dôkaz má tvar „predpoklady ⇒ záver", ktorý musí byť tautológia. Kontradikcia naopak signalizuje spor — to je srdce dôkazu sporom.
Úsudok a platný úsudok
Z predpokladov vyvodzujeme záver. Úsudok je platný, ak z pravdivých predpokladov nutne vyplýva pravdivý záver — t. j. predpoklady ⇒ záver je tautológia.
Modus ponens
[(A⇒B) ∧ A] ⇒ B
Platí A⇒B a platí A ⇒ platí B. Kostra priameho dôkazu.
Modus tollens
[(A⇒B) ∧ ¬B] ⇒ ¬A
Platí A⇒B a neplatí B ⇒ neplatí A. Kostra nepriameho dôkazu.
A⇒B, B ⊬ A „Je mokro, teda pršalo." — nemusí.
A⇒B, ¬A ⊬ ¬B „Neprší, teda nie je mokro." — nemusí.
1) Tabuľka (konjunkcia predpokladov ⇒ záver je tautológia) · 2) Vennov diagram (pre 2–4 množiny) · 3) Protipríklad (jedna situácia, kde predpoklady platia a záver nie ⇒ neplatný).
Prečítaj predpoklady a záver. Rozhodni, či úsudok platí.
Kvantifikované výroky
Všeobecný kvantifikátor
„pre každé / pre všetky" ∀x∈ℝ: x²+1 > 0 → 1
Existenčný kvantifikátor
„existuje aspoň jedno" ∃x∈ℕ: x > 1 → 1
¬(∀x: V(x)) ⇔ ∃x: ¬V(x)
¬(∃x: V(x)) ⇔ ∀x: ¬V(x)
Súvisí to s negáciou množstva (§03): „Každý…" je vlastne ∀, jeho negácia „aspoň jeden… nie je" je ∃.
Protipríklad
Na vyvrátenie všeobecného výroku ∀x: V(x) stačí nájsť jediný protipríklad — jedno x, pre ktoré V(x) neplatí. (Je to vlastne dôkaz negácie ∃x: ¬V(x).)
Protipríklad: 2 — je prvočíslo aj párne. Vyvrátené.
Protipríklad: x = 0,5 → 0,25 < 0,5. Vyvrátené.
Jeden prípad, kde tvrdenie platí, ho NEDOKAZUJE. Dôkaz musí platiť pre všetky prvky. Protipríkladom sa dá len vyvracať.
Tvrdenie: ∀ n∈ℕ₀: n² + n + 41 je prvočíslo. Skús dosadiť čísla. Vyzerá to spoľahlivo… dokedy?
Druhy dôkazov
Veta má často tvar ∀x: A(x) ⇒ B(x) (A = predpoklad, B = tvrdenie). Tri druhy priamo využívajú implikáciu, obmenu a negáciu. Klikni a odkrývaj dôkaz krok po kroku.
1 · Priamy dôkaz — opiera sa o modus ponens
Z predpokladu A vyvodíme záver B reťazou platných implikácií A ⇒ A₁ ⇒ … ⇒ B.
2 · Nepriamy dôkaz (cez obmenu) — opiera sa o modus tollens
Namiesto A ⇒ B dokážeme jeho obmenu ¬B ⇒ ¬A (rovnaká hodnota).
3 · Dôkaz sporom
Predpokladáme negáciu tvrdenia a odvodíme spor (s axiómou, definíciou, predpokladom). Spor ⇒ negácia neplatí ⇒ tvrdenie platí.
Skús najprv priamy. Ak sa z predpokladu vychádza ťažko, ale z negácie záveru ľahko, siahni po nepriamom alebo spore. Tvrdenia typu „neexistuje…" alebo „√… je iracionálne" sa takmer vždy robia sporom. Tvrdenia ∀n∈ℕ sa robia indukciou (patrí k téme Postupnosti).
Logika pri riešení rovníc
Riešenie rovnice je reťaz výrokov o čísle x. Logika rozhodne, kedy je nutná skúška správnosti — a prečo.
Ekvivalentná úprava
Množina riešení sa nemení. Napr. pripočítať číslo, vynásobiť nenulovým číslom. Skúška nie je nutná.
Dôsledková úprava
Môže pribudnúť riešenie navyše. Napr. umocnenie strán, násobenie výrazom s premennou. Skúška nutná!
Rieš √(x+2) = x. Odkrývaj kroky a všimni si, pri ktorom sa stratí ekvivalencia.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪