Čo je rovnica a jej koreň
Rovnica je rovnosť dvoch výrazov — ako váha v rovnováhe. Riešiť rovnicu znamená nájsť číslo, ktoré rovnováhu zachová.
Ľavá a pravá strana
3x − 5 = 10
Vľavo od znaku rovnosti je ľavá strana L, vpravo pravá strana P. Rovnica tvrdí, že obe strany majú rovnakú hodnotu.
Koreň rovnice
x = 5, lebo 3·5 − 5 = 10
Koreň (riešenie) je číslo, po ktorého dosadení vznikne pravdivá rovnosť L = P.
Lineárna rovnica
ax + b = 0, kde a ≠ 0
Neznáma x je len v prvej mocnine — žiadne x², žiadna odmocnina z x, žiadne x v menovateli.
Toto lineárne nie je
x² = 49
Druhá mocnina neznámej robí z rovnice kvadratickú. Na Testovaní 9 riešiš lineárne rovnice.
Mysli na rovnicu ako na dvojramennú váhu. Kým robíš s oboma miskami to isté (pridáš, uberieš, znásobíš), váha ostáva v rovnováhe — a riešenie sa nezmení.
Vyber správnu odpoveď — vysvetlenie sa zobrazí hneď po kliknutí.
Ekvivalentné úpravy a skúška
Ekvivalentná úprava je krok, ktorý nezmení riešenie rovnice. Sú len štyri — a stačia ti na všetko.
| Ekvivalentná úprava | Príklad |
|---|---|
| pripočítať / odčítať rovnaké číslo k obom stranám | x + 5 = 9 | −5 → x = 4 |
| vynásobiť / vydeliť obe strany nenulovým číslom | 4x = 24 | :4 → x = 6 |
| vymeniť ľavú a pravú stranu | 7 = x − 2 → x − 2 = 7 |
| upraviť výrazy na jednej strane | 2x + 3x = 5x |
Nulou rovnicu nikdy nenásob ani nedeľ — z každej rovnice by vzniklo 0 = 0 a informácia o neznámej by sa stratila.
Klikni na kartičku, otoč ju a over si riešenie aj použitú úpravu.
Neznáme na jednu stranu, čísla na druhú. Klikaj cez kroky riešenia.
Koreň dosaď do pôvodnej rovnice (nie do upravenej!) a vypočítaj ľavú aj pravú stranu zvlášť. Ak L = P, riešil si správne.
Päť otázok o úpravách rovníc.
Rovnice so zátvorkami
Najprv roznásob zátvorky, potom rieš ako obyčajnú rovnicu. Pozor na mínus pred zátvorkou!
Roznásobenie
a·(b + c) = a·b + a·c
Číslo pred zátvorkou vynásobí každý člen v zátvorke: 3(x − 2) = 3x − 6.
Mínus pred zátvorkou
−(x − 4) = −x + 4
Mínus otočí znamienko každého člena v zátvorke — nielen prvého.
Pri 7 − (x − 4) žiaci často napíšu 7 − x − 4. Správne je 7 − x + 4 = 11 − x — mínus mení znamienko aj druhému členu.
Roznásob, zjednoduš, vyrieš — a nezabudni na skúšku.
Roznásobuj pozorne — najmä pri mínuse.
Rovnice so zlomkami
Zlomkov sa zbavíš jedným ťahom — vynásob celú rovnicu spoločným menovateľom.
Krok 1: nájdi spoločný menovateľ
x/2 + x/3 = 10 | ·6
Najmenší spoločný násobok menovateľov 2 a 3 je 6. Ním vynásobíš každý člen rovnice — aj ten bez zlomku.
Krok 2: zlomky zmiznú
3x + 2x = 60
Po vynásobení ostane rovnica bez zlomkov, ktorú už vyriešiš bežnými úpravami.
Sleduj, ako jeden šikovný násobok odstráni všetky zlomky.
Klikni na kartičku a over si riešenie.
Štyri otázky — spoločný menovateľ je tvoj kamarát.
Lineárna nerovnica a zápis riešenia
Nerovnicu riešiš rovnakými úpravami ako rovnicu — s jedným háčikom pri násobení záporným číslom. Riešením nie je jedno číslo, ale celá množina čísel.
| Znak | Čítame | Patrí hraničné číslo do riešenia? |
|---|---|---|
| < | menšie ako | nie — pri x < 5 päťka nepatrí |
| ≤ | menšie alebo rovné | áno — pri x ≤ 5 päťka patrí |
| > | väčšie ako | nie — pri x > 5 päťka nepatrí |
| ≥ | väčšie alebo rovné | áno — pri x ≥ 5 päťka patrí |
Bežné úpravy — znak ostáva
3x − 5 < 10 → 3x < 15 → x < 5
Pripočítanie, odčítanie aj násobenie a delenie kladným číslom znak nerovnosti nemení.
Záporné číslo — znak sa otočí
−3x < 12 | :(−3) → x > −4
Pri násobení alebo delení záporným číslom sa znak nerovnosti otočí na opačný.
Násobíš alebo delíš záporným číslom? Otoč znak nerovnosti. Všetko ostatné funguje presne ako pri rovniciach.
Pozor na delenie záporným číslom — sleduj, kedy sa znak otočí.
Otáča sa znak alebo nie?
Vyjadri neznámu zo vzorca
Vzorec je tiež rovnica — neznámu z neho vyjadríš tými istými ekvivalentnými úpravami. Hodí sa to vždy, keď vzorec poznáš, ale pýtajú sa ťa na inú veličinu.
Dráha, rýchlosť, čas
s = v·t → t = s/v
Chceš čas t? Obe strany vydelíš rýchlosťou v. Chceš rýchlosť? Vydelíš časom: v = s/t.
Obvod štvorca
o = 4a → a = o/4
Stranu a dostaneš delením štyrmi. Pri obvode 20 cm má strana 5 cm.
Nevieš, či si vyjadril správne? Dosaď malé čísla. Ak pôvodný vzorec aj tvoje vyjadrenie dajú tie isté hodnoty, je to dobre.
Obvod obdĺžnika poznáš — teraz z neho vylúpni stranu a.
Klikni na kartičku a over si, ako sa neznáma vyjadrí.
Vyjadri a dosaď.
Slovné úlohy riešené rovnicou
Dve tretiny úloh na Testovaní 9 sú z reálneho života. Tajomstvo úspechu: preložiť text do reči rovníc — vždy tým istým postupom.
| Krok | Čo urobíš |
|---|---|
| 1 | Označ neznámu x — to, na čo sa úloha pýta |
| 2 | Ostatné údaje zapíš pomocou x (o 6 viac = x + 6, dvakrát toľko = 2x) |
| 3 | Zostav rovnicu — nájdi v texte rovnosť (spolu, rovnaké, zaplatili...) |
| 4 | Vyrieš rovnicu ekvivalentnými úpravami |
| 5 | Sprav skúšku v kontexte úlohy a odpovedz celou vetou |
Úlohy o veku
40 + x = 3·(10 + x)
Za x rokov sa vek každej osoby zväčší o to isté x.
Úlohy o peniazoch a kusoch
2·(x + 2) + 3x = 19
Lacnejší kus označ x, drahší vyjadri pomocou x (napríklad x + 2).
Rozdelenie sumy
x + 2x = 84 → x = 28
Prvý diel x, druhý dvakrát väčší 2x. Vyjde 28 € a 56 € — spolu 84 €.
Úlohy o počte
x + (x + 4) = 28
Chlapcov x, dievčat o 4 viac. Z rovnice 2x + 4 = 28 vyjde x = 12.
Otec má 40 rokov, syn 10. O koľko rokov bude otec presne trikrát starší ako syn?
Dospelý lístok je o 2 € drahší ako detský. Dvaja dospelí a tri deti zaplatili spolu 19 €. Koľko stojí detský lístok?
Päť úloh — vek, peniaze, kusy aj rozdelenie sumy.
Je výsledok reálny?
Rovnica ti vždy dá číslo — ale dáva to číslo v príbehu úlohy zmysel? Druhá skúška sa robí hlavou, nie dosadením.
Matematická skúška
L = P
Koreň dosadíš do pôvodnej rovnice a porovnáš obe strany. Overuje, že si počítal správne.
Skúška v kontexte
počet kusov ∈ {0, 1, 2, ...}
Počet osôb či kusov musí byť celé nezáporné číslo, vek a cena nemôžu byť záporné. Overuje, že výsledok dáva zmysel.
Ak na výlet treba 3,25 autobusu, objednať musíš 4 — pri kapacitách zaokrúhľuj nahor, inak sa časť ľudí nezmestí. Naopak desatinný počet stoličiek či žiakov signalizuje chybu vo výpočte.
Až 20 z 30 úloh testu vychádza z reálneho života. Po každom výpočte sa na sekundu zastav a spýtaj sa: môže to tak naozaj byť? Ušetríš si zbytočné body dole.
Ktoré výsledky dávajú zmysel a čo s tými, ktoré nie?
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — rovnice, nerovnice, vzorce aj slovné úlohy. Presne ako na Testovaní 9.
Otestuj sa naprieč celou témou. Veľa šťastia!