Pomer a jeho úpravy
Pomer porovnáva dve veličiny delením — hovorí, koľkokrát je jedna väčšia než druhá, nie o koľko.
Pomer
a : b
Čítame „a ku b". Hodnota pomeru je podiel a ÷ b — napríklad pomer 18 : 12 má hodnotu 1,5.
Zjednodušovanie
12 : 18 = 2 : 3
Obidva členy vydelíme rovnakým číslom (najlepšie najväčším spoločným deliteľom — tu číslom 6). Pomer sa tým nezmení.
Prevrátený pomer
k 3 : 4 je prevrátený 4 : 3
Členy si len vymenia poradie. Pomer dievčat ku chlapcom je prevrátený k pomeru chlapcov ku dievčatám.
Postupný pomer
a : b : c, napr. 2 : 3 : 5
Porovnáva tri a viac členov naraz. Zjednodušuje sa rovnako — všetky členy delíme tým istým číslom.
Pomer sa nezmení, keď všetky jeho členy vynásobíme alebo vydelíme rovnakým nenulovým číslom. Základný tvar je ten, v ktorom sú členy najmenšie možné celé čísla.
| Pomer | Úprava | Základný tvar |
|---|---|---|
| 12 : 18 | delíme 6 | 2 : 3 |
| 25 : 100 | delíme 25 | 1 : 4 |
| 0,5 : 2 | násobíme 2 | 1 : 4 |
| 1,5 : 4,5 | násobíme 2, delíme 3 | 1 : 3 |
| 30 : 45 : 60 | delíme 15 | 2 : 3 : 4 |
Pred zápisom pomeru preveď obe veličiny na rovnakú jednotku: 50 cm : 2 m = 50 cm : 200 cm = 1 : 4. Pomer potom píšeme už bez jednotiek.
Najprv si pomer zjednoduš v hlave, potom klikni na kartičku a skontroluj sa.
Zjednodušovanie, prevrátený pomer aj jednotky.
Rozdelenie celku v danom pomere
Odmena za brigádu, dedičstvo či zmes na stavbe — celok rozdelíš v pomere vždy rovnakým postupom v troch krokoch.
1. Sčítaj diely
3 : 5 → 3 + 5 = 8 dielov
Pomer hovorí, na koľko rovnakých dielov sa celok rozpadne.
2. Vypočítaj jeden diel
jeden diel = celok ÷ počet dielov
Celok vydelíš súčtom všetkých dielov.
3. Vynásob
časť = počet dielov · jeden diel
Každý dostane toľko dielov, koľko mu patrí podľa pomeru.
Celok sa delí súčtom dielov, nie členom pomeru! Pri delení 240 € v pomere 3 : 5 nepočítaj 240 ÷ 3 ani 240 ÷ 5, ale 240 ÷ 8.
Jana a Peter si delia odmenu za brigádu 240 € v pomere 3 : 5. Klikaj cez kroky riešenia.
Suchá malta sa mieša z piesku a cementu v pomere 4 : 1. Koľko kg piesku a cementu je v 600 kg zmesi?
Súčet vypočítaných častí musí dať presne pôvodný celok: 90 + 150 = 240 ✓ a 480 + 120 = 600 ✓. Ak nesedí, niekde je chyba.
Peniaze, nápoje aj pozemky. Nezabudni na súčet dielov!
Mierka mapy a plánu
Mierka je pomer, ktorý hovorí, koľkokrát je skutočnosť zmenšená na mape alebo pláne.
Čo hovorí mierka
1 : 50 000
1 cm na mape zodpovedá 50 000 cm v skutočnosti, teda 500 m. Čím väčšie číslo za dvojbodkou, tým väčšie zmenšenie.
Dva smery výpočtu
skutočnosť = mapa · n | mapa = skutočnosť ÷ n
Pri mierke 1 : n vzdialenosť na mape násobíme číslom n, skutočnú vzdialenosť ním delíme.
1 m = 100 cm a 1 km = 1000 m = 100 000 cm. Mierka porovnáva rovnaké jednotky, preto vždy najprv všetko preveď na centimetre a výsledok na záver preveď späť na metre či kilometre.
| Mierka | 1 cm na mape zodpovedá |
|---|---|
| 1 : 1000 (plán) | 10 m |
| 1 : 25 000 | 250 m |
| 1 : 50 000 | 500 m |
| 1 : 100 000 | 1 km |
| 1 : 200 000 | 2 km |
Na turistickej mape s mierkou 1 : 25 000 je chata vzdialená 6,4 cm od stanice. Aká je skutočná vzdialenosť?
Skutočná vzdialenosť dvoch obcí je 15 km, na mape ich delí 5 cm. Akú mierku má mapa?
Mapy, plány bytov aj výpočet mierky. Pozor na jednotky!
Priama úmernosť
Koľkokrát zväčšíš jedno, toľkokrát sa zväčší aj druhé — viac rožkov, viac peňazí.
Predpis
y = k · x
Číslo k je koeficient — napríklad cena za jeden kus. Dvojnásobok x dáva dvojnásobok y.
Test priamej úmernosti
y ÷ x = k (stále rovnaké)
Podiel zodpovedajúcich hodnôt sa nemení. Ak sa mení, priama úmernosť to nie je.
| Počet rožkov x | Cena y | Podiel y ÷ x |
|---|---|---|
| 1 | 0,20 € | 0,20 |
| 2 | 0,40 € | 0,20 |
| 5 | 1,00 € | 0,20 |
| 10 | 2,00 € | 0,20 |
„Čím viac, tým viac" — a to rovnakým násobkom. Typické dvojice: množstvo tovaru a cena, čas jazdy stálou rýchlosťou a prejdená dráha, počet kópií a cena tlače, prejdené kilometre a spotreba paliva.
Vek človeka a jeho výška rastú spolu, ale dvojnásobný vek neznamená dvojnásobnú výšku. Úmernosť vyžaduje presný násobok — vždy si over podiel.
Nákupy, jazda autom aj tlačiareň.
Nepriama úmernosť
Koľkokrát zväčšíš jedno, toľkokrát sa zmenší druhé — viac robotníkov, menej dní práce.
Predpis
y = k ÷ x
Dvojnásobok x dáva polovicu y. Trojnásobok x dáva tretinu y.
Test nepriamej úmernosti
x · y = k (stále rovnaké)
Súčin zodpovedajúcich hodnôt sa nemení — to je spoľahlivý poznávací znak.
| Počet robotníkov x | Čas práce y (dni) | Súčin x · y |
|---|---|---|
| 1 | 12 | 12 |
| 2 | 6 | 12 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 3 | 12 |
| 6 | 2 | 12 |
„Čím viac, tým menej" — rovnakým násobkom. Typické dvojice: počet robotníkov a čas práce, rýchlosť a čas na tej istej trase, počet čerpadiel a čas napúšťania, počet zvierat a počet dní, na ktoré vystačí zásoba krmiva.
Rozhodni, o akú závislosť ide, potom otoč kartičku.
Robotníci, rýchlosť aj zásoby krmiva.
Trojčlenka
Tri údaje poznáš, štvrtý hľadáš — trojčlenka je univerzálny zápis úloh o úmernosti.
1. Zapíš dva riadky
7 zošitov ........ 9,10 €
12 zošitov ........ x €
Rovnaké veličiny píš pod seba, neznámu označ x.
2. Urči typ úmernosti
viac → viac = priama
viac → menej = nepriama
Polož si otázku: ak prvé zdvojnásobím, čo urobí druhé?
3. Vypočítaj
cez jednotku (1 kus, 1 deň...)
Pri priamej prepočítaj na 1 kus a vynásob. Pri nepriamej vypočítaj celkovú prácu a vydeľ.
| Situácia | Typ úmernosti |
|---|---|
| množstvo tovaru — cena | priama |
| počet robotníkov — čas práce | nepriama |
| rýchlosť — čas na rovnakej trase | nepriama |
| prejdené kilometre — spotreba paliva | priama |
| počet strojov — čas výroby | nepriama |
7 zošitov stojí 9,10 €. Koľko zaplatíš za 12 rovnakých zošitov?
5 murárov postaví múr za 12 dní. Za koľko dní postavia rovnaký múr 4 murári?
Rozhodnutie priama či nepriama rozhoduje o celej úlohe. Over si ho otázkou: „Ak zdvojnásobím prvú veličinu, zdvojnásobí sa druhá, alebo klesne na polovicu?"
Cena tovaru, spotreba, robotníci aj rýchlosť — všetko jedným postupom.
Recepty a miešanie farieb
Dve obľúbené testové situácie: prepočítať recept pre iný počet osôb a namiešať farbu či nápoj v danom pomere.
Recept = priama úmernosť
koeficient = nový počet osôb ÷ pôvodný počet
Každú surovinu vynásob rovnakým koeficientom. Pre 10 osôb z receptu pre 4 osoby je koeficient 10 ÷ 4 = 2,5.
Miešanie = delenie v pomere
diely → jeden diel → časti
Farby, sirupy či zmesi rieš ako delenie celku: sčítaj diely, vypočítaj jeden diel, vynásob.
Recept pre 4 osoby: 240 g múky, 500 ml mlieka, 2 vajcia. Prepočítaj ho pre 10 osôb.
Oranžová sa mieša z červenej a žltej v pomere 3 : 2. Koľko ml každej farby treba na 1,5 litra oranžovej?
Pri miešaní musí súčet častí dať celok: 900 ml + 600 ml = 1500 ml = 1,5 l ✓. Pri recepte over jednu surovinu spätne: 600 g ÷ 2,5 = 240 g ✓.
Kuchyňa, farby aj sirup s vodou.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — pomer, delenie celku, mierka, obe úmernosti aj trojčlenka. Presne ako na Testovaní 9.
Kalkulačku môžeš použiť ako pri ostrom teste. Veľa šťastia!