Obvod vs obsah — v čom je rozdiel
Obvod je dĺžka čiary okolo útvaru. Obsah je veľkosť plochy vnútri útvaru. Kto si tieto dve veci pletie, stráca body zbytočne — pritom stačí jedna otázka.
Obvod o
meriame v m, cm, km…
Predstav si, že útvar obchádzaš po hranici a meriaš krokomerom, koľko prejdeš. Obvod je súčet dĺžok všetkých strán.
Obsah S
meriame v m², cm², ha…
Predstav si, že útvar vyfarbuješ. Obsah hovorí, koľko štvorčekov 1 × 1 sa doň zmestí — preto sú jednotky „štvorcové".
Kedy počítam obvod?
Plot okolo záhrady, rám obrazu, lišta okolo podlahy, stuha okolo darčeka, obrubník okolo záhona — všetko, čo ide dookola.
Kedy počítam obsah?
Farba na stenu, dlažba na terasu, koberec do izby, tráva na ihrisko, fólia na bazén — všetko, čo pokrýva plochu.
Polož si otázku: idem okolo, alebo pokrývam plochu? Okolo → obvod (m). Plocha → obsah (m²). Tento test ti vyrieši väčšinu slovných úloh skôr, než začneš počítať.
Vyber správnu odpoveď — vysvetlenie sa zobrazí hneď po kliknutí.
Jednotky dĺžky a obsahu
Pri dĺžke skáčeš po desiatkach, pri obsahu po stovkách. Práve tu vzniká najviac chýb na Testovaní 9 — tak si to poriadne upracme.
Dĺžka: každý stupeň ×10
mm → cm → dm → m
1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 10 dm. Výnimka: 1 km = 1 000 m.
Obsah: každý stupeň ×100
mm² → cm² → dm² → m²
Štvorec so stranou 1 cm = 10 mm má obsah 10 · 10 = 100 mm². Preto sa pri obsahu násobí stovkou — desiatka sa „umocní".
| Premena | Hodnota |
|---|---|
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 dm² | 100 cm² |
| 1 m² | 100 dm² = 10 000 cm² |
| 1 a (ár) | 100 m² |
| 1 ha (hektár) | 100 a = 10 000 m² |
| 1 km² | 100 ha = 1 000 000 m² |
1 m² nie je 100 cm²! Meter má 100 cm, takže štvorcový meter je 100 · 100 = 10 000 cm². Pri obsahu sa prevodové číslo vždy umocňuje na druhú.
Ár a hektár sa používajú na pozemky: záhrada má pár árov, pole pár hektárov. Zapamätaj si rebrík m² → a → ha → km², každý stupienok je ×100.
Klikni na kartičku, otoč ju a skontroluj sa.
Pozor — pri obsahu sa skáče po stovkách.
Štvorec a obdĺžnik
Dva najpoužívanejšie útvary v teste. Vzorce sú krátke — dôležité je vedieť ich aj otočiť: z obvodu dopočítať stranu, z obsahu druhú stranu.
Štvorec (strana a)
o = 4 · a · S = a²
Všetky štyri strany rovnaké. Z obvodu hneď vieš stranu: a = o : 4.
Obdĺžnik (strany a, b)
o = 2 · (a + b) · S = a · b
Dve dvojice rovnakých strán. Z obsahu vieš druhú stranu: b = S : a.
Testovanie 9 rado zadá obvod a pýta sa na obsah (alebo naopak). Postup: z obvodu najprv dopočítaj stranu, až potom počítaj obsah. Napríklad štvorec s o = 20 cm má a = 5 cm, takže S = 25 cm².
Vypočítame obvod aj obsah obdĺžnikovej záhrady. Klikaj cez kroky riešenia.
Aj úlohy odzadu — z obvodu na obsah.
Obvod a obsah trojuholníka
Obvod je jednoduchý súčet strán. Pri obsahu potrebuješ stranu a výšku na ňu — a práve výber správnej dvojice je celé umenie.
Obvod
o = a + b + c
Sčítaš všetky tri strany. Pri rovnostrannom trojuholníku o = 3 · a, pri rovnoramennom o = a + 2 · r (základňa + dve ramená).
Obsah
S = (a · vₐ) : 2
Strana krát výška na ňu, delené dvomi. Trojuholník je vlastne polovica rovnobežníka — preto to delenie dvomi.
Pravouhlý trojuholník
S = (odvesna · odvesna) : 2
Odvesny sú na seba kolmé, takže jedna z nich je výškou na druhú. Obsah spočítaš bez hľadania výšky.
Výška = kolmá vzdialenosť
Výška vₐ je kolmica spustená z protiľahlého vrcholu na stranu a. Nie je to bočná strana trojuholníka!
Do vzorca S = (a · vₐ) : 2 patrí strana a výška práve na túto stranu. Ak zadanie ponúka viac čísel, vyber správnu dvojicu — strana b s výškou vₐ kombinovať nesmieš.
Vypočítame obsah trojuholníka krok za krokom.
Obsah, obvod aj úloha odzadu.
Rovnobežník a lichobežník
Rovnobežník je „naklonený obdĺžnik", lichobežník má rovnobežné len základne. Pri oboch platí to isté pravidlo ako pri trojuholníku: do vzorca patrí výška, nie šikmá strana.
Rovnobežník
o = 2 · (a + b) · S = a · vₐ
Obsah je strana krát výška na ňu. Keď rovnobežník „narovnáš", dostaneš obdĺžnik so stranami a a vₐ — preto rovnaký vzorec.
Lichobežník (základne a, c)
o = a + b + c + d · S = (a + c) · v : 2
Sčítaš obe základne, vynásobíš výškou a vydelíš dvomi. Dva rovnaké lichobežníky zložené k sebe dajú rovnobežník — odtiaľ delenie dvomi.
V rovnobežníku s a = 8 cm, b = 5 cm a vₐ = 4 cm je obsah S = 8 · 4 = 32 cm², nie 8 · 5. Šikmá bočná strana b sa používa len pri obvode.
Pozemok v tvare lichobežníka — vypočítame jeho výmeru.
Útvar → vzorce. Otáčaj, kým ich nebudeš sypať z rukáva.
Vyber správne čísla do správneho vzorca.
Kružnica a kruh
Kružnica je čiara, kruh je plocha. Obe drží pokope číslo π ≈ 3,14 — a dva vzorce, ktoré sa nesmú pomiešať.
Kružnica
Len hranica — množina bodov rovnako vzdialených od stredu. Má dĺžku (obvod), ale nemá obsah. Príklad: obruč.
Kruh
Hranica aj všetko vnútri. Má obvod aj obsah. Príklad: pizza, minca, kruhový záhon.
Obvod kruhu
o = 2 · π · r = π · d
Priemer d = 2r je dvojnásobok polomeru. Obvod je vždy približne 3,14-krát dlhší než priemer.
Obsah kruhu
S = π · r²
Pozor: umocňuje sa len polomer, nie celý súčin. Najprv r², potom krát π.
V obvode je r raz (2πr), v obsahu dvakrát (πr²). A keď zadanie dáva priemer, nezabudni ho pre obsah najprv vydeliť dvomi: d = 10 cm → r = 5 cm.
Počítaj s π ≈ 3,14, pokiaľ zadanie nepovie inak. Kalkulačka je povolená, takže násobenie desatinných čísel ťa nesmie vystrašiť.
Obvod aj obsah jedným ťahom — sleduj, kde sa použije 2r a kde r².
Polomer či priemer? Obvod či obsah? Čítaj pozorne.
Zložené útvary
Pôdorys bytu, útvar v tvare L, doska s vyrezaným otvorom — žiadny nový vzorec netreba. Stačia dve stratégie: rozdeľ a sčítaj alebo doplň a odčítaj.
Stratégia 1 · rozdeľ a sčítaj
Útvar rozrež na obdĺžniky, štvorce či trojuholníky, ktorých obsahy vieš vypočítať, a výsledky sčítaj. Útvar v tvare L sú vlastne dva obdĺžniky.
Stratégia 2 · doplň a odčítaj
Útvar doplň na väčší jednoduchý útvar a odčítaj, čo si pridal. Vyrezaný otvor (okno, kruhová diera) vždy odčítavaš.
Obsahy častí sa sčítavajú, ale obvody nie! Obvod je len vonkajšia hranica — vnútorné deliace čiary sa nepočítajú. Pri obvode si útvar vždy obkresli prstom dookola.
Obdĺžniková doska 8 m × 6 m má vyrezaný štvorcový otvor so stranou 3 m. Aký obsah ostal?
Rozdeliť, alebo odčítať? Rozhodni a počítaj.
Slovné úlohy zo života
Dve tretiny Testovania 9 sú úlohy z reálneho života. Tu je prehľad najčastejších situácií — a dva kompletne rozpočítané príklady.
Plot, obrubník, lišta
→ obvod
Ide sa dookola. Pozor na bránku — jej šírka sa od plota odčíta.
Farba, dlažba, koberec
→ obsah
Pokrýva sa plocha. Okná a dvere sa od steny odčítavajú.
Koleso bicykla
→ obvod kruhu
Jedna otáčka kolesa = jeden obvod. Dráha = počet otáčok × obvod.
1. Rozhodni: obvod či obsah? 2. Zjednoť jednotky (cm vs m!). 3. Dosaď do vzorca. 4. Skontroluj, či odpovedáš na otázku zadania — vrátane správnej jednotky.
Terasa má rozmery 4,5 m × 3,2 m. Koľko dlaždíc 30 cm × 30 cm treba kúpiť?
Koleso má priemer 70 cm. Koľko metrov prejde bicykel za 500 otáčok kolesa?
Plot, maľovanie, záhon, koleso aj koberec — presne ako v teste.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — útvary, jednotky, kruh, zložené útvary aj slovné úlohy. Presne taký mix, aký ťa čaká na Testovaní 9.
Kalkulačku môžeš použiť ako pri ostrom teste. Veľa šťastia!