Pravdivé a nepravdivé tvrdenia
Tvrdenie (výrok) je oznamovacia veta, o ktorej vieš rozhodnúť: platí, alebo neplatí. Nič medzi tým.
Toto je tvrdenie
„Číslo 91 je prvočíslo.“
Vieš o ňom rozhodnúť: 91 = 7 · 13, takže tvrdenie je nepravdivé. Aj nepravdivá veta je tvrdenie — len má hodnotu N.
Toto tvrdenie nie je
„Koľko je hodín?“ · „Zatvor dvere!“
Otázky a rozkazy sa nedajú označiť ako pravdivé či nepravdivé — preto to nie sú tvrdenia.
O číslach
„Súčet 17 + 28 je párne číslo.“ Spočítaj: 17 + 28 = 45 — nepárne. Tvrdenie je N.
O útvaroch
„Každý štvorec je obdĺžnik.“ Štvorec má 4 pravé uhly a protiľahlé strany rovnako dlhé — tvrdenie je P.
O dátach
Pri tabuľkách a grafoch si tvrdenie over priamo v dátach: nájdi riadok, porovnaj čísla, prepočítaj priemer.
| Tvrdenie | P / N | Prečo |
|---|---|---|
| Číslo 2 je jediné párne prvočíslo | P | každé iné párne číslo je deliteľné dvomi, takže prvočíslom nie je |
| Číslo 87 je prvočíslo | N | 87 = 3 · 29 |
| Súčet dvoch nepárnych čísel je párny | P | napr. 3 + 5 = 8; platí to vždy |
| 0,5 je väčšie ako 0,55 | N | 0,50 < 0,55 |
Pravdivosť dokážeš výpočtom alebo úvahou. Nepravdivosť stačí ukázať jedným protipríkladom — jeden prípad, kde tvrdenie zlyhá, a je vybavené.
Posúď tvrdenia o číslach, útvaroch aj dátach. Vysvetlenie sa zobrazí hneď po kliknutí.
Negácia: povedz presný opak
Negácia (popretie) obracia pravdivostnú hodnotu: z pravdy spraví nepravdu a naopak. Najjednoduchšie ju vytvoríš slovami „nie je pravda, že…“.
Čo negácia robí
P ⟷ N
Ak je tvrdenie pravdivé, jeho negácia je nepravdivá — a naopak. Tvrdenie a jeho negácia nemôžu platiť naraz.
Pozor na „opak“
negácia „x > 5“ je „x ≤ 5“
Negácia „väčší“ nie je „menší“! Musíš pokryť všetko ostatné: menší alebo rovný.
| Tvrdenie | Negácia |
|---|---|
| x > 5 | x ≤ 5 |
| x ≥ 7 (x je aspoň 7) | x < 7 |
| Číslo a je párne | Číslo a je nepárne |
| Trojuholník ABC je pravouhlý | Trojuholník ABC nie je pravouhlý |
| Dnes je streda | Dnes nie je streda (nie „dnes je štvrtok“!) |
Negácia „Dnes je streda“ nie je „Dnes je štvrtok“ — deň môže byť hociktorý iný. A negácia „všetci“ nie je „nikto“ — o tom je celá ďalšia sekcia.
Najprv si negáciu povedz v duchu, potom klikni na kartičku a over sa.
Vyber správne popretie — pozor na nerovnosti.
Všetky · aspoň jeden · práve jeden · žiaden
Štyri čarovné slová, ktoré rozhodujú o tom, koľkých sa tvrdenie týka. Ich popretie je obľúbená úloha Testovania 9.
VŠETKY (každý)
platí pre 100 % prípadov
Bez jedinej výnimky. Stačí jedna výnimka a tvrdenie padá.
ASPOŇ JEDEN
jeden alebo viac
Stačí nájsť jediný prípad — ale pokojne ich môže byť aj sto.
PRÁVE JEDEN
presne jeden
Ani nula, ani dva. Presne jeden jediný prípad.
ŽIADEN (ani jeden)
platí pre 0 prípadov
Neexistuje ani jediný prípad, pre ktorý by to platilo.
| Tvrdenie | Popretie (negácia) |
|---|---|
| VŠETCI žiaci majú prezuvky | ASPOŇ JEDEN žiak nemá prezuvky |
| ŽIADEN žiak nechýba | ASPOŇ JEDEN žiak chýba |
| ASPOŇ JEDEN obchod je otvorený | ŽIADEN obchod nie je otvorený |
| PRÁVE JEDEN žiak má jednotku | ŽIADEN ju nemá, alebo ju majú ASPOŇ DVAJA |
Tvrdenie „Všetky prvočísla sú nepárne“ vyvrátiš jediným protipríkladom: číslo 2 je párne prvočíslo. Na popretie „všetci“ teda nikdy nepotrebuješ „nikto“ — stačí aspoň jeden opačný prípad.
Všimni si, ako sa VŠETCI a ŽIADEN po popretí menia na ASPOŇ JEDEN.
Vyber správne popretie tvrdenia.
Kto sedí kde? Logické tabuľky
Z dvoch-troch podmienok vyvodíš jednoznačný záver. Najspoľahlivejší pomocník: tabuľka, v ktorej škrtáš, čo nemôže platiť.
1) Nakresli tabuľku: mená do riadkov, možnosti do stĺpcov. 2) Z každej podmienky daj ✗ tam, kde to nemôže byť. 3) Ak v riadku alebo stĺpci zostane jediné voľné políčko, patrí tam ✓ — a do zvyšku riadka aj stĺpca idú ✗.
Ema, Filip a Hana sedia pri okne, v strede a pri dverách. Vieme: 1) Ema nesedí pri okne. 2) Hana nesedí pri dverách. 3) Filip sedí v strede. Hotová tabuľka vyzerá takto:
| okno | stred | dvere | |
|---|---|---|---|
| Ema | ✗ | ✗ | ✓ |
| Filip | ✗ | ✓ | ✗ |
| Hana | ✓ | ✗ | ✗ |
Klikaj cez kroky a sleduj, ako tabuľka vyššie vznikla — krok za krokom.
Jakub, Lucia a Marek chodia každý na iný krúžok: futbal, gitara, šach. 1) Lucia nechodí na futbal. 2) Marek nechodí na futbal. 3) Marek nechodí ani na gitaru.
Ak po vyškrtaní zostanú v riadku dve voľné políčka, úloha nemá jednoznačný záver — a presne to môže byť správna odpoveď v teste! Neboj sa možnosti „nedá sa určiť“.
Krátke logické úlohy — pokojne si kresli tabuľku na papier.
Nájdi chybu v postupe
Typická úloha Testovania 9: žiak niečo vypočítal, ale niekde sa pomýlil. Tvojou úlohou je nájsť krok, v ktorom chyba vznikla.
Ako na to
Over každý krok samostatne: sedí riadok s tým predchádzajúcim? Chyba je v prvom kroku, ktorý nesedí.
Najčastejší vinníci
Poradie operácií (najprv · a :, až potom + a −), roznásobenie zátvorky, zámena obvodu a obsahu, zlé počítanie percent.
Žiak riešil rovnicu 3(x − 2) = 18 takto: krok ① 3x − 2 = 18, krok ② 3x = 20, krok ③ x = 20 : 3. Nájdi chybný krok.
Chyba v jednom kroku pokazí všetky ďalšie — ale tie už môžu byť počítané správne. Hľadáš prvý krok, kde sa postup zlomil, nie posledný čudný výsledok.
V každej úlohe sa skrýva jedna chyba. Nájdi ju.
Je výsledok reálny?
Skôr než odpoveď odovzdáš, polož si otázku: dáva to zmysel v skutočnom svete? Trieda s 1200 žiakmi neexistuje — taký výsledok kričí, že je niekde chyba.
Porovnaj so skutočnosťou
Poznáš bežné hodnoty: trieda má 20–30 žiakov, deviatak meria okolo 160–180 cm, školská taška váži pár kíl.
Odhadni vopred
4,90 € ≈ 5 € → 31 · 5 = 155 €
Zaokrúhli čísla a vypočítaj odhad. Presný výsledok musí vyjsť blízko odhadu.
| Veličina | Reálna hodnota |
|---|---|
| výška deviataka | asi 160–180 cm |
| hmotnosť jablka | asi 150 g |
| počet žiakov v triede | asi 20–30 |
| rýchlosť chôdze | asi 5 km/h |
| veľká fľaša minerálky | 1,5 l |
Lístok do múzea stojí 4,90 €. Ide 31 žiakov. Pokladníčka vypýta 200 €. Sedí to?
Na Testovaní 9 môžeš mať kalkulačku — ale preklep ti neodhalí. Odhad áno: ak ti vyjde 1519 € namiesto 151,90 €, okamžite vieš, že si niekde posunul čiarku.
Posúď, či výsledok môže byť pravdivý v skutočnom svete.
Číselné a obrázkové vzory
Postupnosť má skryté pravidlo. Nájdi ho — a doplníš ľubovoľný ďalší člen.
Pripočítavanie
2, 5, 8, 11, 14, … (+3)
Rozdiel susedných členov je stále rovnaký. Skontroluj aspoň dva rozdiely!
Násobenie
3, 6, 12, 24, 48, … (×2)
Každý člen je násobkom predchádzajúceho. Rastie oveľa rýchlejšie než pripočítavanie.
Meniaci sa krok
1, 2, 4, 7, 11, … (+1, +2, +3, +4)
Krok sa pravidelne zväčšuje. Zapíš si rozdiely pod čísla — vzor vyskočí sám.
Obrázkové vzory
●■▲●■▲●■▲…
Nájdi dĺžku opakujúcej sa skupiny a počítaj po skupinách. Pri zápalkách a kockách počítaj, koľko pribúda.
Pravidlo musí sedieť pre všetky zadané členy, nie len pre prvé dva. Postupnosť 1, 2, 4 môže pokračovať 8 (×2), ale aj 7 (+1, +2, +3) — preto vždy skontroluj všetky kroky, ktoré máš k dispozícii.
Najprv si tipni pravidlo aj ďalší člen, potom kartičku otoč.
Číselné aj obrázkové vzory — presne ako v teste.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — tvrdenia, negácie, kvantifikátory, logické tabuľky, hľadanie chýb, odhady aj vzory.
Otestuj sa z celej lekcie. Veľa šťastia!