Vypíš všetky možnosti — systematicky
Keď je možností málo, najspoľahlivejšia cesta je vypísať ich všetky. Systém ti zaručí, že žiadna neujde a žiadnu nezarátaš dvakrát.
Stromový diagram
Každé rozhodnutie nakreslíš ako vetvenie stromu. Počet koncových vetiev = počet všetkých možností.
Tabuľka
Pri dvojiciach (prvý krok + druhý krok) dáš jeden výber do riadkov a druhý do stĺpcov — možnosti sú políčka tabuľky.
| Hod dvoma mincami | 2. minca: znak (Z) | 2. minca: hlava (H) |
|---|---|---|
| 1. minca: znak (Z) | ZZ | ZH |
| 1. minca: hlava (H) | HZ | HH |
Vypisuj podľa prvého prvku: najprv všetky možnosti začínajúce prvou voľbou, potom druhou… Napríklad dvojciferné čísla z číslic 2, 5, 7 bez opakovania: 25, 27, potom 52, 57, potom 72, 75 — spolu 6.
ZH a HZ sú pri minciach dva rôzne výsledky. Ale dvojica príchutí vanilka–čokoláda a čokoláda–vanilka je tá istá zmrzlina — vždy si ujasni, či na poradí záleží.
Pomôž si stromovým diagramom alebo tabuľkou.
Pravidlo súčinu
Ak sa rozhoduješ vo viacerých krokoch za sebou, počty možností jednotlivých krokov vynásob. Toto jedno pravidlo vyrieši väčšinu kombinatorických úloh v teste.
Tričko a nohavice
4 tričká · 3 nohavice = 12 outfitov
Ku každému zo 4 tričiek vieš vybrať hociktoré z 3 nohavíc.
Obed v jedálni
3 polievky · 4 hlavné jedlá = 12 obedov
Každá kombinácia polievka + hlavné jedlo je iný obed.
| Kód | Výpočet | Počet možností |
|---|---|---|
| 2 číslice (0 až 9), môžu sa opakovať | 10 · 10 | 100 |
| 3-miestny zámok na bicykli | 10 · 10 · 10 | 1 000 |
| 4-miestny PIN | 10 · 10 · 10 · 10 | 10 000 |
| 2 rôzne číslice (bez opakovania) | 10 · 9 | 90 |
Možnosti sa násobia, nie sčítavajú. 5 tričiek a 2 nohavice nie je 7 možností, ale 5 · 2 = 10. Sčítavame len vtedy, keď si vyberáme buď – alebo (napríklad ideš autobusom ALEBO vlakom).
Klikaj na kroky riešenia.
Násobiť či sčítať? Rozhodni správne.
Koľkými spôsobmi sa zoradia?
Zoraďovanie do radu je pravidlo súčinu v akcii: každé ďalšie miesto má o jednu možnosť menej.
3 deti do radu
3 · 2 · 1 = 6
Na prvé miesto 3 možnosti, na druhé už len 2 a na tretie zostáva posledné dieťa.
4 deti do radu
4 · 3 · 2 · 1 = 24
Stačí pridať jedno dieťa a možností je hneď štyrikrát viac.
| Počet prvkov | Výpočet | Počet usporiadaní |
|---|---|---|
| 2 | 2 · 1 | 2 |
| 3 | 3 · 2 · 1 | 6 |
| 4 | 4 · 3 · 2 · 1 | 24 |
| 5 | 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | 120 |
Pre tri písmená A, B, C si výsledok over: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — naozaj 6 usporiadaní.
Klikni na kartičku a otoč ju na výsledok.
Mysli na klesajúci počet možností.
Priaznivé deleno všetky
Pravdepodobnosť je pomer: počet priaznivých možností deleno počet všetkých možností. Preto sa kombinatorika učí pred ňou — najprv treba vedieť možnosti spočítať.
Vzorec
P = priaznivé : všetky
Všetky možnosti musia byť rovnako pravdepodobné (férová kocka, dobre premiešané guličky).
Tri zápisy tej istej hodnoty
1/2 = 0,5 = 50 %
Zlomok, desatinné číslo aj percento — v teste sa môže objaviť ktorýkoľvek z nich.
Istý jav
P = 1
Nastane vždy. Napríklad: na kocke padne číslo od 1 do 6.
Nemožný jav
P = 0
Nenastane nikdy. Napríklad: na kocke padne sedmička.
| Jav pri hode kockou | Priaznivé možnosti | Pravdepodobnosť |
|---|---|---|
| padne šestka | 6 → 1 možnosť | 1/6 |
| padne párne číslo | 2, 4, 6 → 3 možnosti | 3/6 = 1/2 |
| padne viac ako 4 | 5, 6 → 2 možnosti | 2/6 = 1/3 |
| padne číslo od 1 do 6 | všetkých 6 | 6/6 = 1 (istý jav) |
Pravdepodobnosť je vždy číslo od 0 do 1 (od 0 % do 100 %). Ak ti vyjde viac ako 1, niekde je chyba — najčastejšie sa delí len časťou možností namiesto všetkých.
Vo vrecku sú 3 červené, 5 modrých a 2 biele guličky. Aká je pravdepodobnosť, že naslepo vytiahneš modrú? Klikaj na kroky.
Vždy si najprv spočítaj všetky možnosti.
Aritmetický priemer
Priemer poznáš zo známok: všetko sčítaj a vydeľ počtom. V teste sa často objavuje aj opačná úloha — z priemeru dopočítať chýbajúcu hodnotu.
Vzorec
priemer = súčet hodnôt : počet hodnôt
Známky 1, 2, 2, 3: súčet 8, počet 4, priemer 8 : 4 = 2.
Obrátený smer (kľúč k úlohám)
súčet = priemer · počet
Ak poznáš priemer a počet hodnôt, okamžite vieš ich súčet — a z neho dopočítaš, čo chýba.
Priemer známok 1 a 2 je 1,5 — taká známka neexistuje, a predsa je to správny priemer. Priemer teplôt môže byť pokojne aj 0 °C alebo záporné číslo.
Týždeň meraní o 7:00: −2 °C, 0 °C, 1 °C, 3 °C, −1 °C, 2 °C, 4 °C. Klikaj na kroky.
Samo má z písomiek známky 2, 3, 1, 2. Akú známku potrebuje z piatej písomky, aby mal priemer presne 2,0? Klikaj na kroky.
Pamätaj: súčet = priemer · počet.
Tabuľka početnosti, modus a medián
Veľa údajov prehľadne zapíše tabuľka početnosti — a priamo z nej vyčítaš modus aj medián.
| Známka z testu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Počet žiakov (početnosť) | 5 | 8 | 6 | 3 | 2 |
Početnosť
Koľkokrát sa hodnota vyskytla. Tu: dvojku dostalo 8 žiakov, spolu písalo 5 + 8 + 6 + 3 + 2 = 24 žiakov.
Modus
Najčastejšia hodnota — tá s najväčšou početnosťou. Tu je modus známka 2.
Medián
Prostredná hodnota po usporiadaní od najmenšej po najväčšiu. Tu pri 24 žiakoch je to priemer 12. a 13. známky — obe sú 2, medián je 2.
Pri nepárnom počte hodnôt je medián presne prostredná hodnota. Pri párnom počte vezmeš priemer dvoch prostredných: medián súboru 1, 2, 8, 10 je (2 + 8) : 2 = 5.
Medián súboru 2, 9, 4, 7, 5 nie je 4 (prostredné číslo v zadaní). Najprv usporiadaj: 2, 4, 5, 7, 9 — medián je 5.
Klikni na kartičku a otoč ju.
Nezabudni hodnoty najprv usporiadať.
Vyhodnoť prieskum
Anketa je tabuľka početnosti z reálneho života. V teste z nej budeš čítať počty, percentá a porovnania.
| Obľúbený šport (anketa medzi deviatakmi) | Počet hlasov | Podiel |
|---|---|---|
| futbal | 12 | 12/30 = 40 % |
| hokej | 9 | 9/30 = 30 % |
| plávanie | 6 | 6/30 = 20 % |
| tanec | 3 | 3/30 = 10 % |
| spolu | 30 | 100 % |
Podiel v percentách
časť : celok · 100 %
Futbal: 12 z 30 → 12 : 30 = 0,40 → 40 %.
Modus ankety
Najčastejšia odpoveď = odpoveď s najväčšou početnosťou. Tu je to futbal (12 hlasov).
Súčet početností musí dať počet všetkých opýtaných (12 + 9 + 6 + 3 = 30) a súčet percent 100 % (40 + 30 + 20 + 10 = 100). Ak nesedia, niekde je chyba.
Ak náhodne vyberieš jedného z opýtaných, pravdepodobnosť, že hlasoval za plávanie, je 6/30 = 1/5. Anketa, zlomky a pravdepodobnosť sú jedna rodina.
Všetky otázky sa týkajú ankety z tabuľky vyššie.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — kombinatorika, pravdepodobnosť aj štatistika. Veľa šťastia!
Otestuj sa z celej témy. Kalkulačku môžeš použiť ako pri Testovaní 9.