Kocka a kváder: vrcholy, hrany, steny
Krabica od topánok, kocka cukru, izba — všetko sú to kvádre a kocky. Najprv si ujasníme, z čoho sa tieto telesá skladajú.
Kocka
jediný rozmer: hrana a
Všetky steny sú zhodné štvorce. Všetkých 12 hrán má rovnakú dĺžku a.
Kváder
tri rozmery: a, b, c
6 stien tvorí 3 dvojice zhodných obdĺžnikov. Hrany sú v troch štvoriciach — 4 hrany dĺžky a, 4 dĺžky b a 4 dĺžky c.
| Vlastnosť | Kocka | Kváder |
|---|---|---|
| vrcholy | 8 | 8 |
| hrany | 12 (všetky rovnaké) | 12 (tri štvorice: a, b, c) |
| steny | 6 zhodných štvorcov | 6 obdĺžnikov (3 dvojice) |
| hrany z jedného vrcholu | 3 | 3 |
Keď má kváder všetky tri rozmery rovnaké (a = b = c), je to kocka. Preto všetko, čo platí pre kváder, platí aj pre kocku — vzorce pre kocku sú len skrátené verzie.
Vyber správnu odpoveď — vysvetlenie sa zobrazí hneď po kliknutí.
Sieť kocky a kvádra
Sieť je teleso rozstrihnuté po hranách a rozložené do roviny — ako rozložená krabica. Na Testovaní sa pýtajú: ktorá sieť sa dá poskladať a ktorá nie?
Sieť kocky
6 zhodných štvorcov
Existuje presne 11 rôznych sietí kocky. Najznámejšia je kríž: 4 štvorce v stĺpci a po jednom z bokov.
Sieť kvádra
6 obdĺžnikov — 3 dvojice
Dve steny a×b, dve b×c a dve a×c. Protiľahlé steny sú v sieti vždy zhodné.
Rad šiestich štvorcov ani blok 2 × 3 sa do kocky poskladať nedajú — steny by sa prekrývali. Zapamätaj si: v sieti kocky môžu byť v jednom rade najviac 4 štvorce.
Predstav si skladanie v hlave, potom klikni na kartičku a over si verdikt.
Štyri otázky o sieťach kocky a kvádra.
Povrch kocky a kvádra
Povrch je obsah všetkých stien dokopy — presne toľko papiera potrebuješ na zabalenie krabice. Meria sa v štvorcových jednotkách (cm², m²).
Povrch kocky
S = 6a²
Jedna stena má obsah a², kocka má 6 rovnakých stien.
Povrch kvádra
S = 2(ab + bc + ac)
Tri rôzne steny ab, bc a ac — a každá z nich je v kvádri dvakrát, preto dvojka pred zátvorkou.
Klikaj na tlačidlo a sleduj výpočet krok za krokom.
1) Zabudnúť na dvojku — spočítaš len polovicu stien. 2) Miešať jednotky — pred dosadením do vzorca musia byť všetky rozmery v rovnakej jednotke.
Vzorce S = 6a² a S = 2(ab + bc + ac) v akcii.
Objem kocky a kvádra
Objem hovorí, koľko sa do telesa zmestí — vody, piesku alebo kociek s hranou 1 cm. Meria sa v kubických jednotkách (cm³, m³) alebo v litroch.
Objem kocky
V = a³ = a · a · a
Kocka s hranou 4 cm: V = 4 · 4 · 4 = 64 cm³.
Objem kvádra
V = a · b · c
Vynásobíš všetky tri rozmery. Poradie je jedno — násobenie môžeš robiť, ako sa ti hodí.
Objem vypočítame v cm³ a hneď prevedieme na litre.
Povrch = koľko papiera na zabalenie (jednotky ²). Objem = koľko vody dovnútra (jednotky ³ alebo litre). Keď čítaš slovnú úlohu, najprv si polož otázku: balím, alebo napúšťam?
Vzorce V = a³ a V = a·b·c, aj naopak — z objemu k rozmeru.
Jednotky dĺžky a obsahu
Premeny jednotiek sú na Testovaní istota — objavia sa takmer vždy. Kľúč: dĺžka skáče po 10, obsah po 100.
| Dĺžka (krok ×10) | Prevod |
|---|---|
| 1 cm | 10 mm |
| 1 dm | 10 cm = 100 mm |
| 1 m | 10 dm = 100 cm = 1 000 mm |
| 1 km | 1 000 m |
| Obsah (krok ×100) | Prevod |
|---|---|
| 1 cm² | 100 mm² |
| 1 dm² | 100 cm² |
| 1 m² | 100 dm² = 10 000 cm² |
| 1 a (ár) | 100 m² |
| 1 ha (hektár) | 100 a = 10 000 m² |
| 1 km² | 100 ha = 1 000 000 m² |
Obsah má dva rozmery. Keď sa 1 m = 100 cm, tak štvorec 1 m × 1 m je 100 cm × 100 cm = 10 000 cm². Pri obsahu sa prevodové číslo dĺžky umocní na druhú: 10² = 100.
Najprv si tipni výsledok, potom otoč kartičku.
Päť rýchlych premien.
Jednotky objemu a litre
Objem skáče po 1 000 — a litre sú len iné meno pre dm³. Tento jeden prevod ti otvorí všetky úlohy o akváriách a bazénoch.
| Objem (krok ×1 000) | Prevod |
|---|---|
| 1 cm³ | 1 000 mm³ |
| 1 dm³ | 1 000 cm³ |
| 1 m³ | 1 000 dm³ |
| Litre | Prevod |
|---|---|
| 1 l | 1 dm³ = 1 000 cm³ |
| 1 ml | 1 cm³ |
| 1 hl | 100 l |
| 1 m³ | 1 000 l = 10 hl |
1 l = 1 dm³. Z neho hneď vyplýva: 1 ml = 1 cm³ (malá kocka cukru) a 1 m³ = 1 000 l (kocka s hranou 1 meter). Objem v cm³ predelíš tisíckou a máš litre.
Otoč kartičku a over si prevod.
Mililitre, litre, hektolitre aj kubíky.
Hmotnosť a čas
Hmotnosť skáče po 1 000 ako objem. Čas je zradnejší — hodina nemá 100 minút, ale 60.
Hmotnosť
1 kg = 1 000 g · 1 t = 1 000 kg
Balíček múky 500 g = 0,5 kg. Auto 1,2 t = 1 200 kg.
Čas
1 min = 60 s · 1 h = 60 min = 3 600 s
Štvrťhodina = 15 min, polhodina = 30 min, trištvrte hodiny = 45 min.
1,5 h = 90 min (nie 150 min). A naopak: 135 min = 2 h 15 min, lebo 135 = 2 · 60 + 15. Pri čase vždy násob a deľ šesťdesiatkou.
Gramy, kilogramy, tony — a hlavne minúty.
Slovné úlohy: akvárium, bazén, izba
Dvadsať z tridsiatich úloh Testovania je zo života. Tu sa rozhoduje jediná otázka: počítam povrch, alebo objem?
Maľujem, tapetujem, obkladám, natieram → povrch (m²). Napúšťam, nalievam, sypem, plním → objem (m³, litre). Plot okolo záhrady → obvod (m).
Akvárium a litre
V (cm³) : 1 000 = litre
Voda v akváriu tvorí kváder: dno × výška hladiny. Pozor — hladina nemusí siahať po okraj!
Bazén
25 × 10 × 2 m → V = 500 m³ = 500 000 l
Pri bazénoch sa počíta v m³ a výsledok sa často pýta v litroch alebo hektolitroch (500 000 l = 5 000 hl).
Koľko litrov vody je v akváriu? Klikaj cez kroky.
Maľujú sa steny a strop — koľko m² treba vymaľovať?
Bazén, akvárium, krabica aj izba.
Stavby z kociek
Na obrázku je stavba z kociek a otázka znie: koľko kociek obsahuje? Alebo: ako vyzerá spredu, zboku a zhora?
Počítanie po vrstvách
spodná + stredná + horná vrstva
Stavbu rozrež v hlave na poschodia a spočítaj každé zvlášť. Napríklad 3×3 dole, 2×2 v strede a 1 hore: 9 + 4 + 1 = 14 kociek.
Tri pohľady
spredu · zboku · zhora
Pohľad zhora ukáže pôdorys (obsadené políčka), pohľady spredu a zboku ukážu výšky stĺpcov. Jeden pohľad sám stavbu neurčí.
Kocka, ktorú na obrázku nevidíš, tam stále môže byť — kocky vo vyšších vrstvách musia na niečom stáť. Ak je nad políčkom kocka, pod ňou musia byť kocky až po zem (pri klasických stavbách bez lepenia).
Počty kociek, pohľady aj veže.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou — telesá, siete, povrch, objem, jednotky aj slovné úlohy. Presne ako na Testovaní 9.
Kalkulačku môžeš použiť ako pri ostrom teste. Veľa šťastia!