Základné pojmy
Skôr než začneme počítať, dohodnime si slovník: čo je pokus, jav a priestor možností.
Náhodný pokus
Dej s neistým výsledkom, ktorý vieme opakovať — hod kockou, ťah karty, hod mincou.
Priestor Ω
Množina všetkých elementárnych výsledkov. Pri kocke Ω = {1,2,3,4,5,6}.
Náhodný jav A
Podmnožina Ω — výsledky, ktoré nás zaujímajú. Napr. „padne párne" = {2,4,6}.
Pravdepodobnosť P(A)
Číslo z ⟨0, 1⟩ merajúce šancu javu A. Platí P(∅) = 0, P(Ω) = 1.
Typy javov
| Jav | Význam | Pravdepodobnosť |
|---|---|---|
| istý (Ω) | nastane vždy | P = 1 |
| nemožný (∅) | nenastane nikdy | P = 0 |
| doplnkový A′ | jav A nenastane | P(A′) = 1 − P(A) |
| nezlúčiteľné A, B | nemôžu nastať naraz (A ∩ B = ∅) | P(A ∩ B) = 0 |
| nezávislé A, B | jeden neovplyvní druhý | P(A ∩ B) = P(A)·P(B) |
Každú pravdepodobnosť si vieš overiť: musí vyjsť číslo medzi 0 a 1. Ak ti vyjde záporné číslo alebo viac ako 1, niekde je chyba.
Zaraď jav alebo hodnotu.
Klasická pravdepodobnosť
Pri rovnako možných výsledkoch je pravdepodobnosť len pomer priaznivých ku všetkým.
Klasická pravdepodobnosť
P(A) = |A| / |Ω| = priaznivé / všetky
Platí 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(∅) = 0 (nemožný), P(Ω) = 1 (istý jav).
Vypočítaj pomer možností.
Opačný jav
Niekedy je ľahšie spočítať, čo NEnastane — a odčítať od jednotky.
Opačný jav
P(A′) = 1 − P(A)
Hodí sa pri úlohách typu „aspoň jeden": spočítaj opačný jav „žiaden".
Použi P(A′) = 1 − P(A).
Zjednotenie, prienik, nezávislé javy
Sčítací vzorec a násobenie pravdepodobností pokryjú väčšinu zložených úloh.
Zjednotenie a prienik
nezlúčiteľné: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
zlúčiteľné: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
nezávislé: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Hod kockou: A = párne, B = prvočíslo.
Sčítací vzorec a násobenie.
Stromový diagram a postupné pokusy
Keď sa pokus deje na viac krokov (ťaháme postupne, hádžeme viackrát), prehľad spraví stromový diagram.
Pozdĺž vetvy → násobíme
Pravdepodobnosti krokov, ktoré idú za sebou („a zároveň"), násobíme.
Cez listy → sčítavame
Ak k javu vedie viac rôznych vetiev („alebo"), ich výsledky sčítame.
Pri ťahaní bez vrátenia sa menovateľ v ďalšom ťahu zmenší (gulí je o jednu menej). Pri ťahaní s vrátením ostáva všetko rovnaké.
P(obe biele), urna 3 biele + 2 čierne.
Násobenie po vetvách, sčítanie cez listy.
Geometrická pravdepodobnosť
Keď je výsledkov nekonečne veľa (bod na úsečke, v rovine), počty nahradíme pomerom mier.
Geometrická pravdepodobnosť
P(A) = miera priaznivej oblasti / miera celej oblasti
Podľa rozmeru použijeme dĺžku (1D), obsah (2D) alebo objem (3D).
Vždy, keď výsledky netvoria konečnú množinu rovnako možných prípadov — vtedy klasická Laplaceova schéma nestačí.
Šanca, že bod padne do vpísaného kruhu.
Pomer dĺžok alebo obsahov.
Kombinatorika: pravidlá, variácie, permutácie
Aby sme vedeli rátať „priaznivé" aj „všetky" možnosti, treba vedieť počítať usporiadania a výbery.
Pravidlo súčtu
Možnosti sa vylučujú („buď – alebo") → počty sčítame.
Pravidlo súčinu
Robíme kroky za sebou („a potom") → počty násobíme.
Faktoriál
n! = 1·2·3·…·n, 0! = 1
Prehľad vzorcov
| Útvar | Poradie? | Opakovanie? | Počet |
|---|---|---|---|
| Permutácie P(n) | áno (zoradíme všetky) | nie | n! |
| Permutácie s opakovaním | áno | áno | n! / (n₁!·…·n_k!) |
| Variácie V(n,k) | áno (vyber k a zoraď) | nie | n! / (n−k)! |
| Variácie s opakovaním | áno | áno | nᵏ |
| Kombinácie C(n,k) | nie (len vyber k) | nie | n! / (k!·(n−k)!) |
Zámena variácií a kombinácií. Vždy si polož otázku: záleží na poradí? Ak áno → variácie, ak nie → kombinácie.
Najprv rozmysli, klikni pre riešenie.
Koľko trojciferných čísel z {1,2,3,4,5} bez opakovania?
Faktoriál, pravidlo súčinu, V(n,k).
Kombinačné čísla, Pascalov trojuholník, binomická veta
Výbery bez poradia majú vlastné číslo — a to istý vzťah s rozvojom (a + b)ⁿ.
Kombinačné číslo
C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!)
Počet spôsobov, ako vybrať k prvkov z n bez ohľadu na poradie.
Vlastnosti
C(n,0) = C(n,n) = 1
C(n,k) = C(n,n−k)
C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1)
Pascalov trojuholník — klikni na číslo
(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (pre k = 0 … n)
Koeficienty rozvoja sú práve čísla z n-tého riadka Pascalovho trojuholníka.
Rozvoj cez binomickú vetu.
C(n,k), vlastnosti, koeficienty.
Podmienená pravdepodobnosť a výber
Pri výberoch z urny či balíčka kariet spojíme pravdepodobnosť s kombinatorikou.
Podmienená pravdepodobnosť
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Kombinatorika
Priaznivé aj všetky možnosti často počítame cez kombinácie a variácie.
Over si typické hodnoty.
Zlož pravdepodobnosť z výberu.
Záverečný kvíz
Dvanásť otázok naprieč celou témou — od pravdepodobnosti po kombinatoriku.
Otestuj sa cez celú pravdepodobnosť.