Čo je množina
Množina je súhrn navzájom rozlíšiteľných objektov — prvkov — chápaný ako jeden celok. To, že x je prvkom množiny A, zapíšeme x ∈ A; opak je x ∉ A.
Tri spôsoby, ako zapísať množinu
Výpočtom prvkov
Prvky vymenujeme v zložených zátvorkách. A = {1, 2, 3, 4, 5}
Charakteristickou vlastnosťou
Opíšeme podmienku, ktorú prvky spĺňajú. B = {x ∈ ℕ : x < 6}
Operáciami
Ako výsledok operácií so známymi množinami. C = (A ∪ B) ∩ ℕ
Pojmy, ktoré budeš potrebovať na každom kroku
Prázdna množina
∅ = { } neobsahuje žiadny prvok, |∅| = 0.
Rovnosť množín
Nezáleží na poradí ani opakovaní: {1,2,2,3} = {1,2,3}.
Mohutnosť
Počet prvkov konečnej množiny: |{2,4,6}| = 3.
Má konečný počet prvkov. Napr. {0, 1, 2}.
Má nekonečne veľa prvkov. Napr. ℕ alebo {x ∈ ℝ : x > 0}.
{∅} obsahuje jeden prvok (samotnú prázdnu množinu). Preto platí {∅} ≠ ∅ a |{∅}| = 1.
Daná je A = {1, 2, 3, 4, 5}. Rozhodni pri každom tvrdení.
Podmnožiny a nadmnožina
Množiny porovnávame vzťahom podmnožiny. Je to množinová verzia implikácie z 1. dielu.
Podmnožina A ⊆ B
Každý prvok A je aj prvkom B. A ⊆ B ⇔ (∀x)(x∈A ⇒ x∈B)
Vlastná podmnožina A ⊂ B
A ⊆ B a zároveň A ≠ B. Vždy platí ∅ ⊆ A aj A ⊆ A.
Nadmnožina B ⊇ A
Len opačný pohľad na to isté: B ⊇ A ⇔ A ⊆ B.
Počet podmnožín
n-prvková množina má 2ⁿ podmnožín (vrátane ∅ aj celej). {a,b,c} → 2³ = 8
Dve množiny sú rovnaké práve vtedy, keď je každá podmnožinou tej druhej: A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). Je to množinová verzia ekvivalencie z 1. dielu (obe implikácie naraz) — a presne takto sa rovnosť množín dokazuje.
Meň počet prvkov a sleduj, ako počet podmnožín rastie ako 2ⁿ. Pre malé množiny si ich aj vypíšeme.
Číselné množiny
Špeciálne číselné množiny tvoria reťazec, kde každá ďalšia rozširuje tú predošlú: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
ℕ prirodzené čísla: 0, 1, 2, 3, …
ℤ celé čísla: …, −2, −1, 0, 1, …
ℚ racionálne čísla (zlomky)
ℝ reálne čísla (aj iracionálne, napr. √2, π)
Pri každom čísle vyber najmenšiu množinu z reťazca, do ktorej už patrí.
Intervaly ako podmnožiny ℝ
Interval je súvislá podmnožina reálnych čísel. Pri každej hranici sa rozhodujeme, či ju „berieme" (uzavretá ⟨ ⟩) alebo „neberieme" (otvorená ( )).
Uzavretý
⟨a, b⟩ = {x∈ℝ : a ≤ x ≤ b}
Otvorený
(a, b) = {x∈ℝ : a < x < b}
Polootvorený
⟨a, b) · (a, b⟩
Neohraničené intervaly — jedna strana ide do nekonečna
Doprava
⟨a, ∞) = {x ≥ a}
(a, ∞) = {x > a}
Doľava
(−∞, b⟩ = {x ≤ b}
(−∞, b) = {x < b}
Celé ℝ
(−∞, ∞) = ℝ
Nekonečno nie je číslo, ktoré by sa dalo „vziať" ako prvok — preto sa pri ∞ aj −∞ píše vždy okrúhla zátvorka. Zápis ⟨3, ∞⟩ je nesprávny; správne je ⟨3, ∞).
Vyber dvojicu intervalov a operáciu. Plný bod = hranica patrí dovnútra (uzavretá), prázdny bod = nepatrí (otvorená).
Množinové operácie a Vennove diagramy
Z daných množín tvoríme nové. Najlepšie ich pochopíš cez Vennove diagramy — vyfarbená oblasť je výsledok.
Zjednotenie A ∪ B
Prvky aspoň v jednej množine. {x : x∈A ∨ x∈B}
Prienik A ∩ B
Prvky v oboch naraz. {x : x∈A ∧ x∈B}
Rozdiel A \ B
Prvky z A, ale nie v B. {x : x∈A ∧ x∉B}
Doplnok A′
Prvky U, ktoré nie sú v A. {x∈U : x∉A}
Klikni na operáciu a sleduj, ktorá oblasť sa vyfarbí. Vpravo vidíš definíciu aj konkrétny výsledok pre A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,6,8}, U = {1,…,10}.
Doplnok má zmysel len voči nejakej základnej (univerzálnej) množine U. Bez určenia U nie je jasné, „čo všetko" do doplnku patrí.
Zákony operácií a De Morgan
Operácie sa riadia zákonmi podobnými ako pri číslach. Pri dôkazoch a úpravách výrazov ich budeš často používať.
| Zákon | Zápis |
|---|---|
| Komutatívnosť | A∪B = B∪A A∩B = B∩A |
| Asociatívnosť | (A∪B)∪C = A∪(B∪C) |
| Distributívnosť | A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) |
| De Morganove zákony | (A∪B)′ = A′∩B′ (A∩B)′ = A′∪B′ |
| Idempotentnosť | A∪A = A A∩A = A |
| Neutrálny prvok | A∪∅ = A A∩U = A |
| Dominancia | A∪U = U A∩∅ = ∅ |
Pri doplnku sa ∪ a ∩ vymenia a doplnok prejde na jednotlivé množiny. Sú to tie isté pravidlá, aké poznáš z negácie „a / alebo" pri výrokoch: ¬(p∨q) = ¬p∧¬q.
Vyber zákon. Ľavú aj pravú stranu vyfarbíme samostatným Vennovým diagramom — ak vyjde rovnaká oblasť, zákon platí. Názorný „dôkaz" priamo pre video.
Disjunktné množiny a most k logike
A ∩ B = ∅
Dve množiny sú disjunktné, ak nemajú žiadny spoločný prvok — ich prienik je prázdny. Napr. {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.
Most medzi výrokmi a množinami
Operácie s množinami sú „dvojičkou" logických spojok z 1. dielu — je to ten istý zákon v dvoch jazykoch.
| Množiny | Výroky | Spojenie |
|---|---|---|
| A ∪ B | p ∨ q | prvok je aspoň v jednej („alebo") |
| A ∩ B | p ∧ q | prvok je v oboch naraz („a") |
| A′ | ¬p | doplnok = negácia príslušnosti |
| A ⊆ B | p ⇒ q | „je v A" implikuje „je v B" |
| A = B | p ⇔ q | obojstranná inklúzia = ekvivalencia |
Vennov diagram je nástroj aj na overenie úsudku. „Každý A je B; x je A ⇒ x je B" zodpovedá A ⊆ B: ak je bod vnútri A, leží nutne aj v B.
Mohutnosť a inklúzia–exklúzia
Pri úlohách často počítame, koľko prvkov má výsledná množina. Kľúčový je princíp inklúzie a exklúzie.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Spoločné prvky by sme inak započítali dvakrát, preto ich raz odčítame.
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|
Zadaj počty a hneď uvidíš |A∪B| aj rozpad na jednotlivé oblasti diagramu.
V triede je 30 žiakov. Futbal hrá 18, basketbal 14, oboje 7. Koľko žiakov nehrá ani jeden šport?
Kartézsky súčin
Spájame prvky dvoch množín do usporiadaných dvojíc.
Definícia A × B
Množina všetkých usporiadaných dvojíc: A × B = {(a, b) : a∈A ∧ b∈B}
Mohutnosť
Počet dvojíc je súčin počtov prvkov: |A × B| = |A| · |B|
Meň veľkosti množín a sleduj, ako vznikajú všetky dvojice a ako rastie ich počet |A|·|B|.
Riešené príklady
Typy úloh, ktoré sa na maturite objavujú najčastejšie. Klikaj a odkrývaj riešenie krok po kroku — výsledok je zvýraznený.
1 · Operácie s množinami
A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,6,8}. Urči A∪B, A∩B, A\B.
2 · Intervaly v ℝ
A = ⟨−2, 5), B = (1, 8⟩. Urči A∩B, A∪B, A\B.
3 · Doplnok a disjunktnosť
U = {1,2,…,10}, A = {2,4,6,8,10}. Urči A′ a over A∩A′, A∪A′.
4 · Neohraničené intervaly
A = (−∞, 3⟩, B = ⟨0, ∞). Urči A∩B, A∪B, A\B.
Príklady 1–2 sú „mechanika" (rýchlo), príklady 3–4 ukazujú prácu s doplnkom a nekonečnými intervalmi — presne to, čo často chýba a na maturite prekvapí.
Záverečný kvíz
Desať otázok naprieč celou témou. Po každej dostaneš vysvetlenie. Koľko zvládneš?
Hotovo? Vráť sa hore na ľubovoľnú sekciu cez navigáciu a zopakuj si, čo ti ešte nesedí. 💪