Veľkosť vektora a vzdialenosť bodov
Vzdialenosť dvoch bodov je len dĺžka vektora, ktorý ich spája.
Veľkosť vektora
|u| = √(u₁² + u₂²) (E₂)
|u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) (E₃)
Vzdialenosť bodov
= veľkosť vektora AB. Napr. A[1,2], B[4,6]: |AB| = √(9+16) = 5.
Stred úsečky
S = ((Aₓ+Bₓ)/2, (Aᵧ+Bᵧ)/2)
Pre A[1,2], B[4,6]: S = [2.5, 4]. Kalkulačka ho dopočíta nižšie.
Zadaj body A a B.
Vypočítaj veľkosť a vzdialenosť.
Skalárny súčin
Skalárny súčin spája dĺžky a uhol — je nástrojom na kolmosť aj uhly.
Skalárny súčin
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ (+ u₃v₃) = |u|·|v|·cos φ
Kolmosť: u ⊥ v ⇔ u · v = 0.
Vypočítaj a over kolmosť.
Vektorový súčin a obsah
Druhý súčin vektorov. Výsledkom nie je číslo, ale vektor kolmý na oba — a jeho dĺžka je obsah rovnobežníka.
Vektorový súčin (len v E₃)
u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)
Výsledok je vektor kolmý na u aj v.
Veľkosť a obsah
|u × v| = |u|·|v|·sin φ
S△ = ½ · |u × v|
|u × v| = obsah rovnobežníka určeného u a v.
Normálový vektor roviny, obsah trojuholníka z troch bodov aj vzdialenosť mimobežiek — všetko stojí na vektorovom súčine.
Zadaj vektory u a v (E₃).
Súčin, kolmosť, obsah.
Vzdialenosť bodu od priamky (E₂)
Dosadíš bod do ľavej strany rovnice, vydelíš dĺžkou normály — a máš kolmú vzdialenosť.
Vzdialenosť bodu od priamky (E₂)
v = |a·x₁ + b·x₂ + c| / √(a² + b²)
Priamka ax + by + c = 0 a bod X[x₁, x₂].
Vypočítaj vzdialenosť.
Vzdialenosť bodu od roviny (E₃)
Ten istý princíp ako v rovine, len s troma súradnicami.
Vzdialenosť bodu od roviny (E₃)
v = |a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ + d| / √(a² + b² + c²)
Rovina ax + by + cz + d = 0 a bod X.
Vypočítaj vzdialenosť.
Vzdialenosť rovnobežných útvarov
Jeden trik na všetko: zober ľubovoľný bod jedného útvaru a zmeraj jeho vzdialenosť k druhému. Tým sa úloha zredukuje na „bod od priamky" alebo „bod od roviny".
Univerzálny princíp
Útvary sú rovnobežné ⇒ vzdialenosť je medzi nimi všade rovnaká. Stačí vybrať jeden bod A na prvom útvare a dosadiť ho do vzorca vzdialenosti bodu od druhého útvaru.
Dve rovnobežné priamky (E₂)
p: ax + by + c₁ = 0
q: ax + by + c₂ = 0
v = |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
Priamka ∥ rovina (E₃)
= vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky od roviny.
v = |a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ + d| / √(a² + b² + c²)
Dve rovnobežné roviny (E₃)
ρ: ax + by + cz + d₁ = 0
σ: ax + by + cz + d₂ = 0
v = |d₁ − d₂| / √(a² + b² + c²)
Rovnaká priamka zapísaná inak (3x + 4y − 10 = 0 vs. 6x + 8y + 10 = 0). Najprv ich uprav na rovnaké a, b — inak |c₁ − c₂| nesedí.
p: ax + by + c₁ = 0 a q: ax + by + c₂ = 0 (rovnaké a, b).
Priamky aj roviny.
Bod a priamka v priestore · mimobežky
V priestore priamka nemá „normálovú" rovnicu ako v rovine — preto sa vzdialenosť počíta cez vektorový súčin.
Bod od priamky (E₃)
Priamka má bod A a smer u, mimo nej je bod B.
v = |AB × u| / |u|
Čitateľ je obsah rovnobežníka, delíme dĺžkou smeru.
Dve mimobežky
p: bod A, smer u · q: bod C, smer v.
v = |AC · (u × v)| / |u × v|
Objem rovnobežnostena delený obsahom podstavy.
u × v je smer spoločnej kolmice oboch priamok. Spojnicu AC premietneme na túto kolmicu — a to je presne hľadaná vzdialenosť.
p: A[0,0,0], u = (1,0,0) · q: C[0,0,3], v = (0,1,0).
Bod–priamka aj mimobežky.
Uhly medzi útvarmi
Skalárny súčin dáva uhol dvoch priamok, priamky a roviny aj dvoch rovín — vždy ako ostrý uhol.
Uhly
priamok: cos φ = |u·v|/(|u||v|)
priamky a roviny: sin φ = |u·n|/(|u||n|)
rovín: cos φ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)
V čitateli je absolútna hodnota (ostrý uhol). Pri priamke a rovine je tam sínus.
Over si výsledky.
Vypočítaj uhol alebo over kolmosť.
Záverečný kvíz
Trinásť otázok cez celé metrické vzťahy — od vzdialeností cez oba súčiny až po uhly.
Otestuj sa cez celé metrické vzťahy.